Решите дробно-рациональное уравнение: 2x+1 / x-4 = 3x-1 / x-3

Привет! Давай вместе решим это уравнение.

\(\frac{2x+1}{x-4} = \frac{3x-1}{x-3}\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем начать с избавления от знаменателей. Для этого умножим обе стороны уравнения на \((x-4)(x-3)\).

\[(2x+1)(x-3) = (3x-1)(x-4)\]

Теперь раскроем скобки с обеих сторон:

\[2x^2 - 6x + x - 3 = 3x^2 - 12x - x + 4\] \[2x^2 - 5x - 3 = 3x^2 - 13x + 4\]

Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы привести его к виду квадратного уравнения:

\[0 = 3x^2 - 2x^2 - 13x + 5x + 4 + 3\] \[0 = x^2 - 8x + 7\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение \(x^2 - 8x + 7 = 0\). Решим его, используя дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36\]

Так как дискриминант положителен, у нас будет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Итак, у нас есть два возможных решения: \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 1\). Теперь проверим, не обращают ли они знаменатели исходного уравнения в нуль:

Для \(x = 7\):

\[x - 4 = 7 - 4 = 3
eq 0\] \[x - 3 = 7 - 3 = 4
eq 0\]

Для \(x = 1\):

\[x - 4 = 1 - 4 = -3
eq 0\] \[x - 3 = 1 - 3 = -2
eq 0\]

Оба значения не обращают знаменатели в нуль, поэтому оба являются решениями уравнения.

Таким образом, решения уравнения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 7\).

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!