Решите двойное неравенство и запишите множество целых чисел, которые являются их решениями. 3 < |x + 2| < 7

Решение:

Нам нужно решить двойное неравенство \( 3 < |x + 2| < 7 \). Это неравенство можно разбить на две части:

1. \( |x + 2| > 3 \)
2. \( |x + 2| < 7 \)

Рассмотрим первое неравенство \( |x + 2| > 3 \). Оно означает, что \( x + 2 > 3 \) или \( x + 2 < -3 \).
- \( x + 2 > 3 \) → \( x > 1 \)
- \( x + 2 < -3 \) → \( x < -5 \)
Таким образом, \( x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \).

Теперь рассмотрим второе неравенство \( |x + 2| < 7 \). Оно означает, что \( -7 < x + 2 < 7 \).
- \( -7 < x + 2 \) → \( x > -9 \)
- \( x + 2 < 7 \) → \( x < 5 \)
Таким образом, \( x \in (-9, 5) \).

Объединим решения обоих неравенств. Нам нужны значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям. Пересечение интервалов \( (-\infty, -5) \cup (1, \infty) \) и \( (-9, 5) \) дает:

\( x \in (-9, -5) \cup (1, 5) \).

Теперь найдем целые числа, попадающие в эти интервалы:

• Для интервала \( (-9, -5) \): целые числа -8, -7, -6.
• Для интервала \( (1, 5) \): целые числа 2, 3, 4.

Множество целых решений: \( \{-8, -7, -6, 2, 3, 4\} \).

Ответ: \( \{-8, -7, -6, 2, 3, 4\} \).