Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3.227. Решите двойное неравенство, заменив его системой неравенств: a) 0<x²-6x ≤7; б) x + 2<x²<16.
Ответ:
Краткое пояснение: Решим каждое двойное неравенство, представив его в виде системы неравенств, и найдем решения для каждого случая.
a) 0 < x² - 6x ≤ 7
- Шаг 1: Представим двойное неравенство в виде системы двух неравенств:
\[\begin{cases}
x^2 - 6x > 0 \\
x^2 - 6x \le 7
\end{cases}\]
- Шаг 2: Решим первое неравенство:
\[x^2 - 6x > 0\]
\[x(x - 6) > 0\]
Корни: x = 0, x = 6. Интервалы: (-∞, 0), (0, 6), (6, +∞). Решение: x < 0 или x > 6.
- Шаг 3: Решим второе неравенство:
\[x^2 - 6x \le 7\]
\[x^2 - 6x - 7 \le 0\]
\[(x - 7)(x + 1) \le 0\]
Корни: x = -1, x = 7. Интервалы: (-∞, -1), (-1, 7), (7, +∞). Решение: -1 ≤ x ≤ 7.
- Шаг 4: Найдем пересечение решений:
Первое неравенство: x < 0 или x > 6. Второе неравенство: -1 ≤ x ≤ 7.
Пересечение: -1 ≤ x < 0 или 6 < x ≤ 7.
Ответ: -1 ≤ x < 0 или 6 < x ≤ 7
б) x + 2 < x² < 16
- Шаг 1: Представим двойное неравенство в виде системы двух неравенств:
\[\begin{cases}
x^2 > x + 2 \\
x^2 < 16
\end{cases}\]
- Шаг 2: Решим первое неравенство:
\[x^2 > x + 2\]
\[x^2 - x - 2 > 0\]
\[(x - 2)(x + 1) > 0\]
Корни: x = -1, x = 2. Интервалы: (-∞, -1), (-1, 2), (2, +∞). Решение: x < -1 или x > 2.
- Шаг 3: Решим второе неравенство:
\[x^2 < 16\]
\[x^2 - 16 < 0\]
\[(x - 4)(x + 4) < 0\]
Корни: x = -4, x = 4. Интервалы: (-∞, -4), (-4, 4), (4, +∞). Решение: -4 < x < 4.
- Шаг 4: Найдем пересечение решений:
Первое неравенство: x < -1 или x > 2. Второе неравенство: -4 < x < 4.
Пересечение: -4 < x < -1 или 2 < x < 4.
Ответ: -4 < x < -1 или 2 < x < 4
