Решите графически квадратное неравенство: a) 0,5(x + 3)² - 8 > 0; б) -3x² + 6x + 9 ≥ 0; в) 1/4 (x - 1)² - 4 ≤ 0; г) -2x² - 6x + 8 < 0. a) x² + 4x + 4 > 0; б) 3x² - 6x + 5 > 0; в) -x² + 6x - 9 ≥ 0; г) -2x² + 4x - 7 > 0. а) При каких значениях m уравнение 2x² - 8х + 5 = m имеет один корень, два корня, не имеет корней? б) При каких значениях k уравнение -3x² - 12х - 7 = k имеет один корень, два корня, не имеет корней?

Решаем графически квадратные неравенства:

Привет! Разберем решение квадратных неравенств. Это может показаться сложным, но с графиками все становится гораздо нагляднее!

1. Решение неравенств:

Рассмотрим каждое неравенство и определим, как найти его решение графически.

• а) \(0,5(x + 3)^2 - 8 > 0\)

Чтобы решить это неравенство, нужно построить график функции \(y = 0,5(x + 3)^2 - 8\) и определить, при каких значениях x график находится выше оси x (то есть y > 0).

• б) \(-3x^2 + 6x + 9 \geq 0\)

Строим график функции \(y = -3x^2 + 6x + 9\) и ищем значения x, при которых график находится выше или на оси x (то есть \(y \geq 0\)).

• в) \(\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 \leq 0\)

Строим график функции \(y = \frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4\) и ищем значения x, при которых график находится ниже или на оси x (то есть \(y \leq 0\)).

• г) \(-2x^2 - 6x + 8 < 0\)

Строим график функции \(y = -2x^2 - 6x + 8\) и ищем значения x, при которых график находится ниже оси x (то есть y < 0).

2. Решение неравенств:

• а) \(x^2 + 4x + 4 > 0\)

Строим график функции \(y = x^2 + 4x + 4\) и ищем значения x, при которых график находится выше оси x (то есть y > 0).

• б) \(3x^2 - 6x + 5 > 0\)

Строим график функции \(y = 3x^2 - 6x + 5\) и ищем значения x, при которых график находится выше оси x (то есть y > 0).

• в) \(-x^2 + 6x - 9 \geq 0\)

Строим график функции \(y = -x^2 + 6x - 9\) и ищем значения x, при которых график находится выше или на оси x (то есть \(y \geq 0\)).

• г) \(-2x^2 + 4x - 7 > 0\)

Строим график функции \(y = -2x^2 + 4x - 7\) и ищем значения x, при которых график находится выше оси x (то есть y > 0).

3. Исследование уравнений с параметром:

Разберемся, при каких значениях параметров уравнения имеют один корень, два корня или не имеют корней.

• а) \(2x^2 - 8x + 5 = m\)

Рассмотрим уравнение \(2x^2 - 8x + 5 = m\). Чтобы определить количество корней, нужно найти дискриминант квадратного уравнения \(2x^2 - 8x + (5 - m) = 0\). Дискриминант равен \(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - m) = 64 - 40 + 8m = 24 + 8m\). Дальше анализируем:

• Если \(D > 0\), то есть \(24 + 8m > 0\) или \(m > -3\), уравнение имеет два корня.
• Если \(D = 0\), то есть \(24 + 8m = 0\) или \(m = -3\), уравнение имеет один корень.
• Если \(D < 0\), то есть \(24 + 8m < 0\) или \(m < -3\), уравнение не имеет корней.

• б) \(-3x^2 - 12x - 7 = k\)

Рассмотрим уравнение \(-3x^2 - 12x - 7 = k\). Преобразуем его к виду \(-3x^2 - 12x - (7 + k) = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-7 - k) = 144 - 84 - 12k = 60 - 12k\). Дальше анализируем:

• Если \(D > 0\), то есть \(60 - 12k > 0\) или \(k < 5\), уравнение имеет два корня.
• Если \(D = 0\), то есть \(60 - 12k = 0\) или \(k = 5\), уравнение имеет один корень.
• Если \(D < 0\), то есть \(60 - 12k < 0\) или \(k > 5\), уравнение не имеет корней.

Вот и все! Теперь ты знаешь, как решать квадратные неравенства графически и анализировать уравнения с параметром. Удачи в учебе!