401. Решите графически систему уравнений: a) {\( (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9,\) {\( y = x;\) б) {\( y - x^2 = 0,\) {\( x + y = 6.\)}

Решение системы уравнений графическим способом.

а) Давай разберем по порядку: Первое уравнение \((x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9\) представляет собой окружность с центром в точке \((4, 5)\) и радиусом \(r = 3\). Второе уравнение \(y = x\) — это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов. Для графического решения нужно построить эти графики и найти точки пересечения. Чтобы найти точки пересечения, можно подставить \(y = x\) в первое уравнение: \((x - 4)^2 + (x - 5)^2 = 9\) Раскроем скобки: \(x^2 - 8x + 16 + x^2 - 10x + 25 = 9\) Упростим: \(2x^2 - 18x + 41 = 9\) \(2x^2 - 18x + 32 = 0\) Разделим на 2: \(x^2 - 9x + 16 = 0\) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = (-9)^2 - 4 Imes 1 Imes 16 = 81 - 64 = 17\) Корни: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \approx 6.56\) \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \approx 2.44\) Так как \(y = x\), значения \(y\) будут такими же: \(y_1 \approx 6.56\) \(y_2 \approx 2.44\) Точки пересечения: \((6.56, 6.56)\) и \((2.44, 2.44)\) б) Сначала найдем... Первое уравнение \(y - x^2 = 0\) представляет собой параболу \(y = x^2\). Второе уравнение \(x + y = 6\) — это прямая \(y = 6 - x\). Для графического решения нужно построить эти графики и найти точки пересечения. Чтобы найти точки пересечения, можно приравнять уравнения: \(x^2 = 6 - x\) \(x^2 + x - 6 = 0\) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = 1^2 - 4 Imes 1 Imes (-6) = 1 + 24 = 25\) Корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\) Теперь найдем соответствующие значения \(y\): Для \(x_1 = 2\): \(y_1 = 6 - 2 = 4\) Для \(x_2 = -3\): \(y_2 = 6 - (-3) = 9\) Точки пересечения: \((2, 4)\) и \((-3, 9)\)

Ответ: а) (6.56, 6.56) и (2.44, 2.44); б) (2, 4) и (-3, 9)