Решите графически систему уравнений: x² + y² = 16 xy = 6

Для решения системы уравнений графически нужно построить графики обоих уравнений в одной системе координат и определить точки пересечения. Окружность: $$x^2 + y^2 = 16$$ - это окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4. Гипербола: $$xy = 6$$ или $$y = \frac{6}{x}$$ Для нахождения точек пересечения нужно решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = \frac{6}{x} \end{cases} $$ Подставим второе уравнение в первое: $$x^2 + (\frac{6}{x})^2 = 16$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 16$$ $$x^4 + 36 = 16x^2$$ $$x^4 - 16x^2 + 36 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 16t + 36 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 cdot 1 cdot 36 = 256 - 144 = 112$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{112}}{2} = \frac{16 + 4\sqrt{7}}{2} = 8 + 2\sqrt{7} \approx 8 + 2 \cdot 2.65 = 8 + 5.3 = 13.3$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{112}}{2} = \frac{16 - 4\sqrt{7}}{2} = 8 - 2\sqrt{7} \approx 8 - 2 \cdot 2.65 = 8 - 5.3 = 2.7$$ Найдем значения x: $$x^2 = t_1 = 13.3$$ $$x_1 = \sqrt{13.3} \approx 3.65$$ $$x_2 = -\sqrt{13.3} \approx -3.65$$ $$x^2 = t_2 = 2.7$$ $$x_3 = \sqrt{2.7} \approx 1.64$$ $$x_4 = -\sqrt{2.7} \approx -1.64$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = \frac{6}{x_1} = \frac{6}{3.65} \approx 1.64$$ $$y_2 = \frac{6}{x_2} = \frac{6}{-3.65} \approx -1.64$$ $$y_3 = \frac{6}{x_3} = \frac{6}{1.64} \approx 3.65$$ $$y_4 = \frac{6}{x_4} = \frac{6}{-1.64} \approx -3.65$$ Таким образом, графическое решение системы уравнений дает четыре точки пересечения: $$(3.65; 1.64), (-3.65; -1.64), (1.64; 3.65), (-1.64; -3.65)$$ <div style="overflow-x:auto;-webkit-overflow-scrolling:touch;width:100%;"><table style="white-space:nowrap;width:max-content;"><thead><tr><th>Точка</th><th>x</th><th>y</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>3.65</td><td>1.64</td></tr><tr><td>2</td><td>-3.65</td><td>-1.64</td></tr><tr><td>3</td><td>1.64</td><td>3.65</td></tr><tr><td>4</td><td>-1.64</td><td>-3.65</td></tr></tbody></table></div>