Решите графически уравнение: 4/x = 4 - x

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \frac{4}{x} = 4 - x \) графически, построим графики двух функций: \( y = \frac{4}{x} \) (гипербола) и \( y = 4 - x \) (прямая).

1. График функции \( y = \frac{4}{x} \):

• Область определения: \( x \neq 0 \).
• График симметричен относительно начала координат.
• Точки для построения:
• \( x = -2 \) \( y = \frac{4}{-2} = -2 \)
• \( x = -1 \) \( y = \frac{4}{-1} = -4 \)
• \( x = 1 \) \( y = \frac{4}{1} = 4 \)
• \( x = 2 \) \( y = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( x = 4 \) \( y = \frac{4}{4} = 1 \)

2. График функции \( y = 4 - x \):

• Это прямая.
• Точки для построения:
• \( x = 0 \) \( y = 4 - 0 = 4 \)
• \( x = 4 \) \( y = 4 - 4 = 0 \)
• \( x = 2 \) \( y = 4 - 2 = 2 \)

3. Найдём точки пересечения графиков:

Построим графики на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков и будут решениями уравнения.

Визуально или по точкам видно, что графики пересекаются в точках:

• \( x = -1 \), \( y = 4 - (-1) = 5 \) (проверим для первой функции: \( y = \frac{4}{-1} = -4 \), значит, \( x = -1 \) не подходит. Это ошибка в ручном расчете точек или в моем понимании.)

Давайте решим уравнение алгебраически, чтобы проверить точки пересечения, а затем построить корректный график.

\( \frac{4}{x} = 4 - x \)

Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\( 4 = x(4 - x) \)

\( 4 = 4x - x^2 \)

\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Можно решить через дискриминант или заметить, что это полный квадрат:

\( (x - 2)^2 = 0 \)

\( x - 2 = 0 \)

\( x = 2 \)

Проверим это решение:

Левая часть: \( \frac{4}{2} = 2 \)

Правая часть: \( 4 - 2 = 2 \)

Левая часть равна правой, значит, \( x = 2 \) — решение.

Перестраиваю описание графика:

1. График функции \( y = \frac{4}{x} \):

• Точки: (-2, -2), (-1, -4), (1, 4), (2, 2), (4, 1).

2. График функции \( y = 4 - x \):

• Точки: (0, 4), (4, 0), (2, 2).

3. Точки пересечения:

Графики пересекаются в точке \( (2, 2) \).

Таким образом, решением уравнения является \( x = 2 \).

Ответ: x = 2.