Решите интеграл: $$\int_{-1}^{1} (2x^3 - 3x + 4)dx$$

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-1}^{1} (2x^3 - 3x + 4)dx \) найдём первообразную функции \( f(x) = 2x^3 - 3x + 4 \).

1. Первообразная для \( 2x^3 \) равна \( \frac{2x^{3+1}}{3+1} = \frac{2x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4 \).
2. Первообразная для \( -3x \) равна \( \frac{-3x^{1+1}}{1+1} = \frac{-3x^2}{2} \).
3. Первообразная для \( 4 \) равна \( 4x \).
4. Таким образом, первообразная \( F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 4x \).
5. Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \).
6. Подставим верхний предел \( x=1 \): \( F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2 + 4(1) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 4 = -1 + 4 = 3 \).
7. Подставим нижний предел \( x=-1 \): \( F(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 4(-1) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 4 = -1 - 4 = -5 \).
8. Вычислим разность: \( F(1) - F(-1) = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8 \).

Ответ: 8