Решите иррациональное уравнение: \(\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 3 = 0\).

Решение:

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения сделаем замену переменной.

1. Пусть \( y = \sqrt[4]{x} \). Тогда \( x = y^4 \) и \( \sqrt{x} = y^2 \).
2. Подставим новую переменную в уравнение: \( y^2 - 4y + 3 = 0 \).
3. Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его, найдя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
4. Найдем корни квадратного уравнения: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]
5. Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) обратно:
   • Случай 1: \( y = 3 \). Так как \( y = \sqrt[4]{x} \), то \( \sqrt[4]{x} = 3 \). Возведём обе части уравнения в 4-ю степень: \( x = 3^4 = 81 \).
   • Случай 2: \( y = 1 \). Тогда \( \sqrt[4]{x} = 1 \). Возведём обе части уравнения в 4-ю степень: \( x = 1^4 = 1 \).
   • Проверим полученные корни:
     • Для \( x = 81 \): \( \sqrt{81} - 4\sqrt[4]{81} + 3 = 9 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \). Верно.
     • Для \( x = 1 \): \( \sqrt{1} - 4\sqrt[4]{1} + 3 = 1 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \). Верно.

Ответ: x = 1, x = 81.