Решите линейные неоднородные дифференциальные уравнения: 1. y" - 3y' + 2y = e³x, y(0) = 1, y'(0) = 0 2. y" + 4y' + 4y = 4x², y(0) = 2, y'(0) = -1

Решение:

1. y" - 3y' + 2y = e³x, y(0) = 1, y'(0) = 0

1. Находим общее решение однородного уравнения: \( y'' - 3y' + 2y = 0 \). Характеристическое уравнение: \( k^2 - 3k + 2 = 0 \). Корни: \( k_1 = 1, k_2 = 2 \). Общее решение однородного уравнения: \( y_0 = C_1e^x + C_2e^{2x} \).
2. Находим частное решение неоднородного уравнения: Так как правая часть имеет вид \( e^{3x} \), ищем частное решение в виде \( y_p = Ae^{3x} \). Тогда \( y_p' = 3Ae^{3x} \), \( y_p'' = 9Ae^{3x} \). Подставляем в исходное уравнение: \( 9Ae^{3x} - 3(3Ae^{3x}) + 2Ae^{3x} = e^{3x} \) \( \rightarrow \) \( 9A - 9A + 2A = 1 \) \( \rightarrow \) \( 2A = 1 \) \( \rightarrow \) \( A = \frac{1}{2} \). Частное решение: \( y_p = \frac{1}{2}e^{3x} \).
3. Общее решение неоднородного уравнения: \( y = y_0 + y_p = C_1e^x + C_2e^{2x} + \frac{1}{2}e^{3x} \).
4. Находим постоянные C₁ и C₂ по начальным условиям: \( y(0) = 1 \) и \( y'(0) = 0 \). \( y'(x) = C_1e^x + 2C_2e^{2x} + \frac{3}{2}e^{3x} \).
5. Подставляем \( x=0 \):
• \( y(0) = C_1 + C_2 + \frac{1}{2} = 1 \) \( \rightarrow \) \( C_1 + C_2 = \frac{1}{2} \)
• \( y'(0) = C_1 + 2C_2 + \frac{3}{2} = 0 \) \( \rightarrow \) \( C_1 + 2C_2 = -\frac{3}{2} \)
6. Решаем систему: \( (C_1 + 2C_2) - (C_1 + C_2) = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \) \( \rightarrow \) \( C_2 = -2 \).
7. \( C_1 = \frac{1}{2} - C_2 = \frac{1}{2} - (-2) = \frac{5}{2} \).
8. Окончательное решение: \( y(x) = \frac{5}{2}e^x - 2e^{2x} + \frac{1}{2}e^{3x} \).

2. y" + 4y' + 4y = 4x², y(0) = 2, y'(0) = -1

1. Находим общее решение однородного уравнения: \( y'' + 4y' + 4y = 0 \). Характеристическое уравнение: \( k^2 + 4k + 4 = 0 \). Корни: \( k = -2 \) (кратность 2). Общее решение однородного уравнения: \( y_0 = (C_1 + C_2x)e^{-2x} \).
2. Находим частное решение неоднородного уравнения: Так как правая часть имеет вид \( 4x^2 \), ищем частное решение в виде \( y_p = Ax^2 + Bx + D \). Тогда \( y_p' = 2Ax + B \), \( y_p'' = 2A \). Подставляем в исходное уравнение: \( 2A + 4(2Ax + B) + 4(Ax^2 + Bx + D) = 4x^2 \) \( \rightarrow \) \( 2A + 8Ax + 4B + 4Ax^2 + 4Bx + 4D = 4x^2 \) \( \rightarrow \) \( 4Ax^2 + (8A + 4B)x + (2A + 4B + 4D) = 4x^2 \).
3. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):
• При \( x^2 \): \( 4A = 4 \) \( \rightarrow \) \( A = 1 \).
• При \( x \): \( 8A + 4B = 0 \) \( \rightarrow \) \( 8(1) + 4B = 0 \) \( \rightarrow \) \( 4B = -8 \) \( \rightarrow \) \( B = -2 \).
• Свободный член: \( 2A + 4B + 4D = 0 \) \( \rightarrow \) \( 2(1) + 4(-2) + 4D = 0 \) \( \rightarrow \) \( 2 - 8 + 4D = 0 \) \( \rightarrow \) \( -6 + 4D = 0 \) \( \rightarrow \) \( 4D = 6 \) \( \rightarrow \) \( D = \frac{3}{2} \).
4. Частное решение: \( y_p = x^2 - 2x + \frac{3}{2} \).
5. Общее решение неоднородного уравнения: \( y = y_0 + y_p = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + x^2 - 2x + \frac{3}{2} \).
6. Находим постоянные C₁ и C₂ по начальным условиям: \( y(0) = 2 \) и \( y'(0) = -1 \). \( y'(x) = C_2e^{-2x} - 2(C_1 + C_2x)e^{-2x} + 2x - 2 \).
7. Подставляем \( x=0 \):
• \( y(0) = (C_1 + 0)e^0 + 0 - 0 + \frac{3}{2} = C_1 + \frac{3}{2} = 2 \) \( \rightarrow \) \( C_1 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \).
• \( y'(0) = C_2e^0 - 2(C_1 + 0)e^0 + 0 - 2 = C_2 - 2C_1 - 2 = -1 \).
• \( C_2 - 2(\frac{1}{2}) - 2 = -1 \) \( \rightarrow \) \( C_2 - 1 - 2 = -1 \) \( \rightarrow \) \( C_2 - 3 = -1 \) \( \rightarrow \) \( C_2 = 2 \).
8. Окончательное решение: \( y(x) = (\frac{1}{2} + 2x)e^{-2x} + x^2 - 2x + \frac{3}{2} \).

Ответ: 1. \( y(x) = \frac{5}{2}e^x - 2e^{2x} + \frac{1}{2}e^{3x} \). 2. \( y(x) = (\frac{1}{2} + 2x)e^{-2x} + x^2 - 2x + \frac{3}{2} \).