Контрольные задания > Решите методом интервалов неравенство (319-321).
Вопрос:

Решите методом интервалов неравенство (319-321).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

319.

  1. a) \( (x-1)(x-2)(x-3) < 0 \)

    2. Корни: \( x = 1, x = 2, x = 3 \). Интервалы: \( (-\infty, 1), (1, 2), (2, 3), (3, \infty) \).

    • В \( (-\infty, 1) \) возьмем \( x=0 \): \( (-1)(-2)(-3) = -6 < 0 \). Подходит.
    • В \( (1, 2) \) возьмем \( x=1.5 \): \( (0.5)(-0.5)(-1.5) = 0.375 > 0 \). Не подходит.
    • В \( (2, 3) \) возьмем \( x=2.5 \): \( (1.5)(0.5)(-0.5) = -0.375 < 0 \). Подходит.
    • В \( (3, \infty) \) возьмем \( x=4 \): \( (3)(2)(1) = 6 > 0 \). Не подходит.

    Ответ: \( x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \).

  2. б) \( (x+1)(x-4)(x+8) \ge 0 \)

    3. Корни: \( x = -8, x = -1, x = 4 \). Интервалы: \( (-\infty, -8), (-8, -1), (-1, 4), (4, \infty) \).

    • В \( (-\infty, -8) \) возьмем \( x=-9 \): \( (-8)(-13)(-1) = -104 < 0 \). Не подходит.
    • В \( (-8, -1) \) возьмем \( x=-2 \): \( (-1)(-6)(6) = 36 > 0 \). Подходит.
    • В \( (-1, 4) \) возьмем \( x=0 \): \( (1)(-4)(8) = -32 < 0 \). Не подходит.
    • В \( (4, \infty) \) возьмем \( x=5 \): \( (6)(1)(13) = 78 > 0 \). Подходит.

    Ответ: \( x \in [-8, -1] \cup [4, \infty) \).

  3. в) \( \frac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} > 0 \)

    4. Корни числителя: \( x = 2, x = 4 \). Корни знаменателя: \( x = -3, x = 1 \). Интервалы: \( (-\infty, -3), (-3, 1), (1, 2), (2, 4), (4, \infty) \).

    • В \( (-\infty, -3) \) возьмем \( x=-4 \): \( \frac{(-6)(-8)}{(-1)(-5)} = \frac{48}{5} > 0 \). Подходит.
    • В \( (-3, 1) \) возьмем \( x=0 \): \( \frac{(-2)(-4)}{(3)(-1)} = \frac{8}{-3} < 0 \). Не подходит.
    • В \( (1, 2) \) возьмем \( x=1.5 \): \( \frac{(-0.5)(-2.5)}{(4.5)(0.5)} = \frac{1.25}{2.25} > 0 \). Подходит.
    • В \( (2, 4) \) возьмем \( x=3 \): \( \frac{(1)(-1)}{(6)(2)} = \frac{-1}{12} < 0 \). Не подходит.
    • В \( (4, \infty) \) возьмем \( x=5 \): \( \frac{(3)(1)}{(8)(4)} = \frac{3}{32} > 0 \). Подходит.

    Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2) \cup (4, \infty) \).

  4. г) \( \frac{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-4)} \le 0 \)

    5. Корни числителя: \( x = -1, x = 3 \). Корни знаменателя: \( x = -3, x = 4 \). Интервалы: \( (-\infty, -3), (-3, -1), (-1, 3), (3, 4), (4, \infty) \).

    • В \( (-\infty, -3) \) возьмем \( x=-4 \): \( \frac{(-7)(-3)}{(-1)(-8)} = \frac{21}{8} > 0 \). Не подходит.
    • В \( (-3, -1) \) возьмем \( x=-2 \): \( \frac{(-5)(-1)}{(1)(-6)} = \frac{5}{-6} < 0 \). Подходит.
    • В \( (-1, 3) \) возьмем \( x=0 \): \( \frac{(-3)(1)}{(3)(-4)} = \frac{-3}{-12} > 0 \). Не подходит.
    • В \( (3, 4) \) возьмем \( x=3.5 \): \( \frac{(0.5)(4.5)}{(6.5)(-0.5)} = \frac{2.25}{-3.25} < 0 \). Подходит.
    • В \( (4, \infty) \) возьмем \( x=5 \): \( \frac{(2)(6)}{(8)(1)} = \frac{12}{8} > 0 \). Не подходит.

    Ответ: \( x \in (-3, -1] \cup [3, 4) \).

320.

  1. a) \( x^2 - 5x + 4 \ge 0 \)

    2. Найдём корни уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 5 \), \( x_1 x_2 = 4 \). Корни: \( x = 1, x = 4 \).

    Это парабола ветвями вверх. \( y \ge 0 \) при \( x \le 1 \) или \( x \ge 4 \).

    Ответ: \( x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty) \).

  2. б) \( x^2 - 3x - 4 < 0 \)

    3. Найдём корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 3 \), \( x_1 x_2 = -4 \). Корни: \( x = -1, x = 4 \).

    Это парабола ветвями вверх. \( y < 0 \) при \( -1 < x < 4 \).

    Ответ: \( x \in (-1, 4) \).

  3. в) \( x^4 - 10x^2 + 9 \le 0 \)

    4. Сделаем замену: \( y = x^2 \). Получим \( y^2 - 10y + 9 \le 0 \).

    Найдём корни уравнения \( y^2 - 10y + 9 = 0 \). По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 10 \), \( y_1 y_2 = 9 \). Корни: \( y = 1, y = 9 \).

    Парабола ветвями вверх, \( y \le 0 \) при \( 1 \le y \le 9 \).

    Возвращаемся к замене: \( 1 \le x^2 \le 9 \).

    Это означает \( x^2 \ge 1 \) и \( x^2 \le 9 \).

    \( x^2 \ge 1 \) ⇒ \( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \).

    \( x^2 \le 9 \) ⇒ \( -3 \le x \le 3 \).

    Объединяя оба условия, получаем \( [-3, -1] \cup [1, 3] \).

    Ответ: \( x \in [-3, -1] \cup [1, 3] \).

  4. г) \( x^4 - 5x^2 - 6 > 0 \)

    5. Сделаем замену: \( y = x^2 \). Получим \( y^2 - 5y - 6 > 0 \).

    Найдём корни уравнения \( y^2 - 5y - 6 = 0 \). По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 5 \), \( y_1 y_2 = -6 \). Корни: \( y = -1, y = 6 \).

    Парабола ветвями вверх, \( y > 0 \) при \( y < -1 \) или \( y > 6 \).

    Возвращаемся к замене: \( x^2 < -1 \) или \( x^2 > 6 \).

    \( x^2 < -1 \) — решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

    \( x^2 > 6 \) ⇒ \( x < -\sqrt{6} \) или \( x > \sqrt{6} \).

    Ответ: \( x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty) \).

321*.

  1. a) \( (x^2-1)(x^3-1)(x^4-1) \ge 0 \)

    2. Разложим на множители:

    \( (x-1)(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-1)(x^2+1) \ge 0 \)

    \( (x-1)^2(x+1)(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x-1)(x+1)(x^2+1) \ge 0 \)

    \( (x-1)^3(x+1)^3(x^2+x+1)(x^2+1) \ge 0 \)

    Выражения \( x^2+x+1 \) и \( x^2+1 \) всегда положительны.

    Условие сводится к \( (x-1)^3(x+1)^3 \ge 0 \), что равносильно \( ((x-1)(x+1))^3 \ge 0 \) или \( (x^2-1)^3 \ge 0 \).

    Это эквивалентно \( x^2-1 \ge 0 \).

    \( x^2 \ge 1 \) ⇒ \( x \le -1 \) или \( x \ge 1 \).

    Ответ: \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \).

  2. б) \( \frac{(x-3)^3(x+4)^4(x-7)}{(x-2)^2(x+1)} \le 0 \)

    3. Корни числителя: \( x=3 \) (нечетная кратность), \( x=-4 \) (четная кратность), \( x=7 \) (нечетная кратность). Корни знаменателя: \( x=2 \) (четная кратность), \( x=-1 \) (нечетная кратность).

    Отметим корни на числовой оси: -4, -1, 2, 3, 7.

    • При \( x > 7 \), все множители положительны, кроме \( (x-7) \) - знак '+'.
    • При \( x \in (3, 7) \) (например, \( x=4 \)): \( \frac{(+)^3(+)^4(-)}{(-)^2(+)} = \frac{-}{+} = - \). Подходит.
    • При \( x \in (2, 3) \) (например, \( x=2.5 \)): \( \frac{(+)^3(+)^4(-)}{(-)^2(+)} = \frac{-}{+} = - \). Подходит.
    • При \( x \in (-1, 2) \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{(-)^3(+)^4(-)}{(-)^2(+)} = \frac{-}{+} = - \). Подходит.
    • При \( x \in (-4, -1) \) (например, \( x=-2 \)): \( \frac{(-)^3(+)^4(-)}{(-)^2(-)} = \frac{-}{-} = + \). Не подходит.
    • При \( x < -4 \) (например, \( x=-5 \)): \( \frac{(-)^3(+)^4(-)}{(-)^2(-)} = \frac{-}{-} = + \). Не подходит.

    Учитываем, что \( x=3 \) и \( x=7 \) входят в решение, а \( x=-1 \) не входит (знаменатель). \( x=-4 \) (четная кратность) и \( x=2 \) (четная кратность) не меняют знак.

    Знаки интервалов: +, -, -, -, +, +

    Нам нужно \( \le 0 \), значит, берем интервалы со знаком '-' и точки числителя, где знак '+', если они не в знаменателе.

    Интервалы: \( (-1, 2) \cup (2, 3] \cup [3, 7] \) (так как \(x=3\) не меняет знак).

    Объединяем: \( (-1, 2) \cup (2, 7] \). И \( x=3 \) входит в решение.

    Ответ: \( x \in (-1, 2) \cup (2, 7] \).

  3. в) \( \frac{1}{x-1} \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \)

    4. Приведём к общему знаменателю:

    \( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \ge 0 \)

    \( \frac{x(x+1) - (x-1)(x+1) - x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0 \)

    \( \frac{x^2+x - (x^2-1) - (x^2-x)}{x(x-1)(x+1)} \ge 0 \)

    \( \frac{x^2+x - x^2+1 - x^2+x}{x(x-1)(x+1)} \ge 0 \)

    \( \frac{-x^2+2x+1}{x(x-1)(x+1)} \ge 0 \)

    \( \frac{x^2-2x-1}{x(x-1)(x+1)} \le 0 \)

    Найдем корни числителя \( x^2-2x-1 = 0 \). \( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \).

    Корни знаменателя: \( x=0, x=1, x=-1 \).

    Отметим корни на числовой оси: \( -1, 0, 1, 1-\sqrt{2} \approx -0.414, 1+\sqrt{2} \approx 2.414 \).

    Упорядочим: \( -1, 1-\sqrt{2}, 0, 1, 1+\sqrt{2} \).

    Интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, 1-\sqrt{2}), (1-\sqrt{2}, 0), (0, 1), (1, 1+\sqrt{2}), (1+\sqrt{2}, \infty) \).

    • В \( (-\infty, -1) \) возьмём \( x=-2 \). \( \frac{4+4-1}{(-2)(-3)(-1)} = \frac{7}{-6} < 0 \). Подходит.
    • В \( (-1, 1-\sqrt{2}) \) возьмём \( x=-0.5 \). \( \frac{0.25+1-1}{(-0.5)(-1.5)(0.5)} = \frac{0.25}{1.125} > 0 \). Не подходит.
    • В \( (1-\sqrt{2}, 0) \) возьмём \( x=-0.2 \). \( \frac{0.04+0.4-1}{(-0.2)(-1.2)(0.8)} = \frac{-0.56}{0.192} < 0 \). Подходит.
    • В \( (0, 1) \) возьмём \( x=0.5 \). \( \frac{0.25-1-1}{(0.5)(-0.5)(1.5)} = \frac{-1.75}{-0.375} > 0 \). Не подходит.
    • В \( (1, 1+\sqrt{2}) \) возьмём \( x=2 \). \( \frac{4-4-1}{(2)(1)(3)} = \frac{-1}{6} < 0 \). Подходит.
    • В \( (1+\sqrt{2}, \infty) \) возьмём \( x=3 \). \( \frac{9-6-1}{(3)(2)(4)} = \frac{2}{24} > 0 \). Не подходит.

    Учитываем, что числитель \( \le 0 \), а знаменатель \(
    e 0 \).

    Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup [1-\sqrt{2}, 0) \cup (1, 1+\sqrt{2}] \).

  4. г) \( \sqrt{x^2-4} (x-3) < 0 \)

    5. Для существования корня необходимо \( x^2-4 \ge 0 \), что означает \( x \le -2 \) или \( x \ge 2 \).

    Рассмотрим два случая:

    1. \( \sqrt{x^2-4} > 0 \) и \( x-3 < 0 \).

    \( \sqrt{x^2-4} > 0 \) ⇒ \( x^2-4 > 0 \) ⇒ \( x < -2 \) или \( x > 2 \).

    \( x-3 < 0 \) ⇒ \( x < 3 \).

    Объединяя \( (x < -2 \text{ или } x > 2) \) и \( x < 3 \), получаем \( x < -2 \) или \( 2 < x < 3 \).

    1. \( \sqrt{x^2-4} < 0 \) и \( x-3 > 0 \).

    \( \sqrt{x^2-4} < 0 \) — решений нет.

    Объединяя все условия, получаем \( x < -2 \) или \( 2 < x < 3 \).

    Ответ: \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3) \).

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю