451. Решите методом подстановки систему уравнений: 1) {y = x + 3, x² - 2y = 9; 3) {y - x = 2, x² - 2xy = 3; 5) {xy = 15, 2x - y = 7; 2) {x + y = 5, xy = 4; 4) {x - 4y = 2, xy + 2y = 8; 6) {x - y = 4, x² + y² = 8.

Решим методом подстановки систему уравнений.

1)

Давай решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} y = x + 3, \\ x^2 - 2y = 9. \end{cases}\]

Подставим первое уравнение во второе:

\[x^2 - 2(x + 3) = 9\] \[x^2 - 2x - 6 = 9\] \[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = x_1 + 3 = 5 + 3 = 8\] \[y_2 = x_2 + 3 = -3 + 3 = 0\]

Ответ: (5; 8), (-3; 0)

2)

Давай решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 4. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = 5 - y\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(5 - y)y = 4\] \[5y - y^2 = 4\] \[y^2 - 5y + 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\] \[y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4\] \[y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

\[x_1 = 5 - y_1 = 5 - 4 = 1\] \[x_2 = 5 - y_2 = 5 - 1 = 4\]

Ответ: (1; 4), (4; 1)

3)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} y - x = 2, \\ x^2 - 2xy = 3. \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = x + 2\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x^2 - 2x(x + 2) = 3\] \[x^2 - 2x^2 - 4x = 3\] \[-x^2 - 4x - 3 = 0\] \[x^2 + 4x + 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\] \[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = x_1 + 2 = -1 + 2 = 1\] \[y_2 = x_2 + 2 = -3 + 2 = -1\]

Ответ: (-1; 1), (-3; -1)

4)

Давай решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} x - 4y = 2, \\ xy + 2y = 8. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = 4y + 2\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(4y + 2)y + 2y = 8\] \[4y^2 + 2y + 2y = 8\] \[4y^2 + 4y - 8 = 0\] \[y^2 + y - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

\[x_1 = 4y_1 + 2 = 4 \cdot 1 + 2 = 6\] \[x_2 = 4y_2 + 2 = 4 \cdot (-2) + 2 = -6\]

Ответ: (6; 1), (-6; -2)

5)

Давай решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} xy = 15, \\ 2x - y = 7. \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[y = 2x - 7\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[x(2x - 7) = 15\] \[2x^2 - 7x = 15\] \[2x^2 - 7x - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169\] \[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 13}{4} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 13}{4} = -\frac{3}{2}\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = 2x_1 - 7 = 2 \cdot 5 - 7 = 3\] \[y_2 = 2x_2 - 7 = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) - 7 = -3 - 7 = -10\]

Ответ: (5; 3), (-1.5; -10)

6)

Давай решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = y + 4\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 4)^2 + y^2 = 8\] \[y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8\] \[2y^2 + 8y + 8 = 0\] \[y^2 + 4y + 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[(y + 2)^2 = 0\] \[y = -2\]

Теперь найдем соответствующее значение x:

\[x = y + 4 = -2 + 4 = 2\]

Ответ: (2; -2)

Ты отлично справился с решением этих систем уравнений методом подстановки! Продолжай в том же духе, и все получится!