Решите методом подстановки систему уравнений: y² = 9x - 2, y² + 11 = 9x + x². Решения системы: ( ; ), ( ; ).

Ответ: (2; 4), (23; 14)

Пошаговое решение:

1. Выражаем x из первого уравнения: \[ y^2 = 9x - 2 \Rightarrow 9x = y^2 + 2 \Rightarrow x = \frac{y^2 + 2}{9} \]
2. Подставляем x во второе уравнение: \[ y^2 + 11 = 9\left(\frac{y^2 + 2}{9}\right) + \left(\frac{y^2 + 2}{9}\right)^2 \] \[ y^2 + 11 = y^2 + 2 + \frac{(y^2 + 2)^2}{81} \]
3. Упрощаем уравнение: \[ 11 - 2 = \frac{(y^2 + 2)^2}{81} \Rightarrow 9 = \frac{(y^2 + 2)^2}{81} \] \[ 9 \cdot 81 = (y^2 + 2)^2 \Rightarrow 729 = (y^2 + 2)^2 \]
4. Извлекаем квадратный корень: \[ y^2 + 2 = \pm\sqrt{729} \Rightarrow y^2 + 2 = \pm 27 \]
5. Решаем для положительного случая: \[ y^2 + 2 = 27 \Rightarrow y^2 = 25 \Rightarrow y = \pm 5 \]
6. Решаем для отрицательного случая: \[ y^2 + 2 = -27 \Rightarrow y^2 = -29 \]

   Так как y² не может быть отрицательным, то этот случай не имеет реальных решений.

7. Находим значения x для y = 5: \[ x = \frac{5^2 + 2}{9} = \frac{25 + 2}{9} = \frac{27}{9} = 3 \]
8. Находим значения x для y = -5: \[ x = \frac{(-5)^2 + 2}{9} = \frac{25 + 2}{9} = \frac{27}{9} = 3 \]
9. Проверка полученных решений:
   • Для (3; 5):
     • y² = 9x - 2 → 5² = 9(3) - 2 → 25 = 27 - 2 → 25 = 25 (верно)
     • y² + 11 = 9x + x² → 25 + 11 = 9(3) + 3² → 36 = 27 + 9 → 36 = 36 (верно)
   • Для (3; -5):
     • y² = 9x - 2 → (-5)² = 9(3) - 2 → 25 = 27 - 2 → 25 = 25 (верно)
     • y² + 11 = 9x + x² → 25 + 11 = 9(3) + 3² → 36 = 27 + 9 → 36 = 36 (верно)

Ответ: (3; 5), (3; -5)

Ответ: (3; 5), (3; -5)

Пошаговое решение:

1. Выражаем y² из первого уравнения:

   \[ y^2 = 9x - 2 \]

2. Подставляем y² во второе уравнение:

   \[ 9x - 2 + 11 = 9x + x^2 \]

3. Упрощаем уравнение:

   \[ 9x + 9 = 9x + x^2 \]

   \[ x^2 = 9 \]

4. Находим значения x:

   \[ x = \pm 3 \]

5. Находим значения y для x = 3:

   \[ y^2 = 9(3) - 2 = 27 - 2 = 25 \]

   \[ y = \pm 5 \]

6. Находим значения y для x = -3:

   \[ y^2 = 9(-3) - 2 = -27 - 2 = -29 \]

   Так как y² не может быть отрицательным, то при x = -3 решений нет.

Финальное решение:

• Решениями системы являются точки (3; 5) и (3; -5).

Ответ: (3; 5), (3; -5)