Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешите методом сложения систему уравнений: 1) {x + y = 4, x - y = 5;} 2) {3x - 7y = 11, 6x + 7y = 16;} 3) {4x + 2y = 5, 4x - 6y = -7;} 4) {6x + 7y = 2, 3x - 4y = 46;} 5) {2x - 3y = 8, 7x - 5y = -5;} 6) {6x - 7y = 40, 5y - 2x = -8;}
Ответ:
Решение систем уравнений методом сложения:
- 1)
Дано:
- \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 5 \end{cases} \]
Решение:
Сложим уравнения системы:
\[ (x + y) + (x - y) = 4 + 5 \]
\[ 2x = 9 \]
\[ x = \frac{9}{2} \]
Подставим значение $$x$$ в первое уравнение:
\[ \frac{9}{2} + y = 4 \]
\[ y = 4 - \frac{9}{2} \]
\[ y = \frac{8}{2} - \frac{9}{2} \]
\[ y = -\frac{1}{2} \]
Ответ: $$x = \frac{9}{2}, y = -\frac{1}{2}$$
- 2)
Дано:
- \[ \begin{cases} 3x - 7y = 11 \\ 6x + 7y = 16 \end{cases} \]
Решение:
Сложим уравнения системы:
\[ (3x - 7y) + (6x + 7y) = 11 + 16 \]
\[ 9x = 27 \]
\[ x = \frac{27}{9} \]
\[ x = 3 \]
Подставим значение $$x$$ во второе уравнение:
\[ 6(3) + 7y = 16 \]
\[ 18 + 7y = 16 \]
\[ 7y = 16 - 18 \]
\[ 7y = -2 \]
\[ y = -\frac{2}{7} \]
Ответ: $$x = 3, y = -\frac{2}{7}$$
- 3)
Дано:
- \[ \begin{cases} 4x + 2y = 5 \\ 4x - 6y = -7 \end{cases} \]
Решение:
Вычтем второе уравнение из первого:
\[ (4x + 2y) - (4x - 6y) = 5 - (-7) \]
\[ 4x + 2y - 4x + 6y = 5 + 7 \]
\[ 8y = 12 \]
\[ y = \frac{12}{8} \]
\[ y = \frac{3}{2} \]
Подставим значение $$y$$ в первое уравнение:
\[ 4x + 2(\frac{3}{2}) = 5 \]
\[ 4x + 3 = 5 \]
\[ 4x = 5 - 3 \]
\[ 4x = 2 \]
\[ x = \frac{2}{4} \]
\[ x = \frac{1}{2} \]
Ответ: $$x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{2}$$
- 4)
Дано:
- \[ \begin{cases} 6x + 7y = 2 \\ 3x - 4y = 46 \end{cases} \]
Решение:
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $$x$$ совпали:
\[ 2(3x - 4y) = 2(46) \]
\[ 6x - 8y = 92 \]
Теперь вычтем это новое уравнение из первого:
\[ (6x + 7y) - (6x - 8y) = 2 - 92 \]
\[ 6x + 7y - 6x + 8y = -90 \]
\[ 15y = -90 \]
\[ y = \frac{-90}{15} \]
\[ y = -6 \]
Подставим значение $$y$$ в первое уравнение:
\[ 6x + 7(-6) = 2 \]
\[ 6x - 42 = 2 \]
\[ 6x = 2 + 42 \]
\[ 6x = 44 \]
\[ x = \frac{44}{6} \]
\[ x = \frac{22}{3} \]
Ответ: $$x = \frac{22}{3}, y = -6$$
- 5)
Дано:
- \[ \begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ 7x - 5y = -5 \end{cases} \]
Решение:
Умножим первое уравнение на 7, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $$x$$ были равны 14:
\[ 7(2x - 3y) = 7(8) \implies 14x - 21y = 56 \]
\[ 2(7x - 5y) = 2(-5) \implies 14x - 10y = -10 \]
Вычтем второе новое уравнение из первого:
\[ (14x - 21y) - (14x - 10y) = 56 - (-10) \]
\[ 14x - 21y - 14x + 10y = 56 + 10 \]
\[ -11y = 66 \]
\[ y = \frac{66}{-11} \]
\[ y = -6 \]
Подставим значение $$y$$ в первое уравнение:
\[ 2x - 3(-6) = 8 \]
\[ 2x + 18 = 8 \]
\[ 2x = 8 - 18 \]
\[ 2x = -10 \]
\[ x = \frac{-10}{2} \]
\[ x = -5 \]
Ответ: $$x = -5, y = -6$$
- 6)
Дано:
- \[ \begin{cases} 6x - 7y = 40 \\ 5y - 2x = -8 \end{cases} \]
Решение:
Перепишем второе уравнение, чтобы $$x$$ был на первом месте: $$-2x + 5y = -8$$.
Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $$x$$ были равны -6:
\[ 3(-2x + 5y) = 3(-8) \]
\[ -6x + 15y = -24 \]
Теперь сложим первое уравнение с этим новым уравнением:
\[ (6x - 7y) + (-6x + 15y) = 40 + (-24) \]
\[ 6x - 7y - 6x + 15y = 40 - 24 \]
\[ 8y = 16 \]
\[ y = \frac{16}{8} \]
\[ y = 2 \]
Подставим значение $$y$$ в первое уравнение:
\[ 6x - 7(2) = 40 \]
\[ 6x - 14 = 40 \]
\[ 6x = 40 + 14 \]
\[ 6x = 54 \]
\[ x = \frac{54}{6} \]
\[ x = 9 \]
Ответ: $$x = 9, y = 2$$
