Решите неравенства (154-157). 154.- a) sin x ≥ √2. ; 2 1. B) sin x >; 2 155.- a) cos x > -; 01 2 3. B) COS x ≥ √3: 2 6) sin x < r) sin x < √√3. ; 2 √2 2 6) cos x < 2; г) cos x <- 2 √2 2 6) tg x > -; 1; 156. a) tg x < √3; 1 B) tg x =; r) tg x < -1. √√3' 157. a) 2 cos x − 1 > 0; 6) 2 sin x + √2 > 0; B) 2 cos x - √3 ≤ 0; r) 3 tg x + √3 ≥ 0. Решите неравенства (158—163). 158.-a) sin 2x <; 2 √3. B) sin<-8; 2 2 π X б) cos > √3 ; 3 2 - r) tg 5x > 1. 159.- a) 2 cos (2x+1)<1; 6) √3 tg (3x+)<1; B) √2 √2 sin 3 +≥ 1; 42 6 مه r) 2 cos 4x ->√3. sin <1; < 1. 160.- a) sin x cos 2

Ответ: Решения неравенств представлены ниже.

154.

• а) \(\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\). Решение: \([\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}\)
• б) \(\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Решение: \((-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• в) \(\sin x > \frac{1}{2}\). Решение: \((\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• г) \(\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Решение: \((-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)

155.

• а) \(\cos x > -\frac{1}{2}\). Решение: \((-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• б) \(\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}\). Решение: \((\frac{\pi}{4} + 2\pi n; 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\) или \((\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• в) \(\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}\). Решение: \([- \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}\)
• г) \(\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Решение: \((\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)

156.

• а) \(\operatorname{tg} x \le \sqrt{3}\). Решение: \((-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n], n \in \mathbb{Z}\)
• б) \(\operatorname{tg} x > -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Решение: \((-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• в) \(\operatorname{tg} x \ge 1\). Решение: \([\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• г) \(\operatorname{tg} x < -1\). Решение: \((\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in \mathbb{Z}\)

157.

• а) \(2 \cos x - 1 > 0\) \(\Rightarrow \cos x > \frac{1}{2}\). Решение: \((-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• б) \(2 \sin x + \sqrt{2} > 0\) \(\Rightarrow \sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Решение: \((-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• в) \(2 \cos x - \sqrt{3} \le 0\) \(\Rightarrow \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}\). Решение: \([\frac{\pi}{6} + 2\pi n; 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}\) или \([\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}\)
• г) \(3 \operatorname{tg} x + \sqrt{3} \ge 0\) \(\Rightarrow \operatorname{tg} x \ge -\frac{\sqrt{3}}{3}\). Решение: \([-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}\)

158.

• а) \(\sin 2x < \frac{1}{2}\). Решение: \((-\frac{7\pi}{12} + \pi n; \frac{\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• б) \(\cos \frac{x}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2}\). Решение: \((-\frac{\pi}{2} + 6\pi n; \frac{\pi}{2} + 6\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• в) \(\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\). (Повторение, см. 154 б)) Решение: \((-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• г) \(\operatorname{tg} 5x > 1\). Решение: \((\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}; \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}), n \in \mathbb{Z}\)

159.

• а) \(2 \cos (2x + \frac{\pi}{3}) < 1\) \(\Rightarrow \cos (2x + \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}\). Решение: \((\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}\)
• б) \(\sqrt{3} \operatorname{tg} (3x + \frac{\pi}{6}) < 1\) \(\Rightarrow \operatorname{tg} (3x + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{3}}\). Решение: \((-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}; 0 + \frac{\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}\)
• в) \(\sqrt{2} \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) \ge 1\) \(\Rightarrow \sin (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\). Решение: \([\frac{\pi}{4} + 4\pi n; \frac{3\pi}{4} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}\)
• г) \(2 \cos (4x - \frac{\pi}{6}) > \sqrt{3}\) \(\Rightarrow \cos (4x - \frac{\pi}{6}) > \frac{\sqrt{3}}{2}\). Решение: \((-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}\)

160.

• а) \(\sin x \cos \frac{\pi}{6} < \frac{1}{2}\). Это не полное условие.
• б) \(\sin \frac{x}{6} < 1\). Решение: \((-3\pi + 12\pi n; 3\pi + 12\pi n), n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: Решения неравенств представлены выше.