Решите неравенства: а) \((x^2+3x+2)^2\ge (x^2+2x)[неразборчивый фрагмент] ;\) б) \(\frac{3x^3-x^4+4x^2}{x^2+x+2}>0\).

а) После \((x^2+2x)\) на правом краю изображения возможен неразборчивый показатель степени. Если показатель отсутствует, получаем \((x^2+3x+2)^2\ge x^2+2x\). Если там стоит степень 2, неравенство имеет другой ответ:

Если справа \(x^2+2x\): переносим всё влево. Получаем \(x^4+6x^3+12x^2+10x+4\ge0\). Это выражение положительно при всех действительных \(x\): при замене \(u=x+1\) оно становится \(u^4+2u^3+2u+1=(u^2+u-1)^2+(u+1)^2\), сумма квадратов. Ответ: \(x\in\mathbb R\).

Если справа \((x^2+2x)^2\): используем разность квадратов:

\((x^2+3x+2)^2-(x^2+2x)^2=(3x+2)(2x+1)(x+2)\ge0\).

Критические точки: \(-2\), \(-\frac23\), \(-\frac12\). По знакам множителей решение: \([-2,-\frac23]\cup[-\frac12,+\infty)\).

б) Знаменатель всегда положителен: \(x^2+x+2=(x+\frac12)^2+\frac74>0\). Числитель раскладывается на множители:

\(3x^3-x^4+4x^2=x^2(4-x)(x+1)\).

Для строгого неравенства нужны \(x\ne0\) и \((4-x)(x+1)>0\). Последнее выполняется при \(-1

Ответ: а) при прочтении без степени справа — \(\mathbb R\); при степени 2 — \([-2,-\frac23]\cup[-\frac12,+\infty)\). б) \((-1,0)\cup(0,4)\).