Решите неравенства (168-170). 16 3+x 168. a) 82>()*+*; V32 1 2-3x 1 B) 3. (√)²-3*<; V3 б) 3x²+x<101g9; г) 4x²+x-11>51085 4. 169. a) 0,04* - 26-0,2*+250; 6) 9*-84-3-2x+>0; в) 4* - 10.2*+16<0; 170. a) x2.3* - 3*+1 <0; в) х².5* - 52+x<0; г) 22x+1+()=≥0. x²+2x-15 2. б) 3,7 x-4 >1; г) 2х22х+3-2x+45x+15 299 Задачи на повторение

Решим неравенства.

1. 168. a) $$\frac{16}{\sqrt{32}} \geq (\frac{1}{2})^{3+x}$$

   Преобразуем неравенство:

   $$\frac{2^4}{2^{5/2}} \geq 2^{-3-x}$$ $$2^{4-5/2} \geq 2^{-3-x}$$ $$2^{3/2} \geq 2^{-3-x}$$

   Так как основание больше 1, то переходим к неравенству для показателей:

   $$\frac{3}{2} \geq -3-x$$ $$x \geq -3 - \frac{3}{2}$$ $$x \geq -\frac{9}{2}$$

   $$x \geq -4.5$$

   Ответ: $$x \geq -4.5$$

2. 168. в) $$3 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^{2-3x} < \frac{1}{9}$$

   Преобразуем неравенство:

   $$3 \cdot (3^{-1/2})^{2-3x} < 3^{-2}$$ $$3 \cdot 3^{(3x-2)/2} < 3^{-2}$$ $$3^{1 + (3x-2)/2} < 3^{-2}$$ $$3^{(2+3x-2)/2} < 3^{-2}$$ $$3^{(3x)/2} < 3^{-2}$$

   Так как основание больше 1, то переходим к неравенству для показателей:

   $$\frac{3x}{2} < -2$$ $$3x < -4$$ $$x < -\frac{4}{3}$$

   Ответ: $$x < -\frac{4}{3}$$

3. 169. a) $$0.04^x - 26 \cdot 0.2^x + 25 \leq 0$$

   Пусть $$t = 0.2^x$$, тогда неравенство принимает вид:

   $$t^2 - 26t + 25 \leq 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$t^2 - 26t + 25 = 0$$:

   $$D = 26^2 - 4 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$$ $$t_1 = \frac{26 + \sqrt{576}}{2} = \frac{26 + 24}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{26 - \sqrt{576}}{2} = \frac{26 - 24}{2} = 1$$

   Тогда неравенство можно записать как:

   $$(t - 25)(t - 1) \leq 0$$

   Решением этого неравенства является интервал $$1 \leq t \leq 25$$.

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$1 \leq 0.2^x \leq 25$$ $$0.2^0 \leq 0.2^x \leq 0.2^{-2}$$

   Так как основание меньше 1, то меняем знаки неравенства:

   $$0 \geq x \geq -2$$

   $$x \in [-2; 0]$$

   Ответ: $$x \in [-2; 0]$$

4. 169. в) $$4^x - 10 \cdot 2^x + 16 < 0$$

   Пусть $$t = 2^x$$, тогда неравенство принимает вид:

   $$t^2 - 10t + 16 < 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$t^2 - 10t + 16 = 0$$:

   $$D = 10^2 - 4 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$$ $$t_1 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$$

   Тогда неравенство можно записать как:

   $$(t - 8)(t - 2) < 0$$

   Решением этого неравенства является интервал $$2 < t < 8$$.

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$2 < 2^x < 8$$ $$2^1 < 2^x < 2^3$$

   Так как основание больше 1, то переходим к неравенству для показателей:

   $$1 < x < 3$$

   $$x \in (1; 3)$$.

   Ответ: $$x \in (1; 3)$$