Решите неравенство: \(\frac{\log_2(8x) \cdot \log_3(27x)}{x^2 - |x|} \le 0.\)

Шаг 1: Определение ОДЗ (области допустимых значений)

• Аргументы логарифмов должны быть положительными: \(8x > 0\) и \(27x > 0\), следовательно, \(x > 0\).
• Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^2 - |x|
  eq 0\). Это означает, что \(x
  eq 0\) и \(x
  eq \pm 1\).

Итак, ОДЗ: \(x > 0\), \(x
eq 1\).

Шаг 2: Упрощение неравенства

Преобразуем логарифмы:

\[\log_2(8x) = \log_2(8) + \log_2(x) = 3 + \log_2(x)\] \[\log_3(27x) = \log_3(27) + \log_3(x) = 3 + \log_3(x)\]

Заменим \(\log_3(x)\) на \(\frac{\log_2(x)}{\log_2(3)}\). Тогда неравенство примет вид:

\[\frac{(3 + \log_2(x))(3 + \frac{\log_2(x)}{\log_2(3)})}{x^2 - |x|} \le 0\]

Шаг 3: Анализ знаменателя

Для \(x > 0\), \(|x| = x\), поэтому \(x^2 - |x| = x^2 - x = x(x - 1)\).

Так как \(x > 0\) и \(x
eq 1\), то знаменатель всегда положителен на ОДЗ. Следовательно, знак неравенства зависит только от числителя.

Шаг 4: Анализ числителя

Неравенство сводится к:

\[(3 + \log_2(x))(3 + \frac{\log_2(x)}{\log_2(3)}) \le 0\]

Пусть \(y = \log_2(x)\). Тогда:

\[(3 + y)(3 + \frac{y}{\log_2(3)}) \le 0\] \[(3 + y)(\frac{3\log_2(3) + y}{\log_2(3)}) \le 0\]

Так как \(\log_2(3) > 0\), то:

\[(3 + y)(3\log_2(3) + y) \le 0\]

Решаем неравенство методом интервалов. Нули:

• \(y = -3\)
• \(y = -3\log_2(3)\)

Так как \(\log_2(3) > 1\), то \(-3\log_2(3) < -3\).

Решение для \(y\):

\[y \in [-3\log_2(3); -3]\]

Шаг 5: Возврат к переменной x

Подставляем \(\log_2(x)\) вместо \(y\):

\[-3\log_2(3) \le \log_2(x) \le -3\] \[\log_2(3^{-3}) \le \log_2(x) \le \log_2(2^{-3})\]

Так как логарифм по основанию 2 является возрастающей функцией, то:

\[3^{-3} \le x \le 2^{-3}\] \[\frac{1}{27} \le x \le \frac{1}{8}\]

Шаг 6: Учет ОДЗ

С учетом ОДЗ \(x > 0\) и \(x
eq 1\), получаем:

\[x \in [\frac{1}{27}; \frac{1}{8}]\]

А также рассмотрим случай, когда

\[(3 + \log_2(x))(3 + \frac{\log_2(x)}{\log_2(3)}) = 0\]

Мы нашли что

\[x = \frac{1}{8} \approx 0.125\]

Теперь нужно рассмотреть случай

\[3+\frac{\log_2(x)}{\log_2(3)} = 0\] \[ \log_2(x) = -3\log_2(3)\] \[x = 2^{-3\log_2(3)} = (2^{\log_2(3)})^{-3} = 3^{-3} = \frac{1}{27}\]

Так же \(\frac{1}{27} \approx 0.037\)

Теперь рассмотрим случай когда числитель больше нуля.

\[(3 + \log_2(x))(3 + \frac{\log_2(x)}{\log_2(3)}) > 0\]

Из условия получаем

\[x < \frac{1}{27} \cup x > \frac{1}{8}\]

Вспоминаем про область определения

\[x > 0, x
eq 1\]

Пересечение этих множеств:

\[0 < x < \frac{1}{27} \cup 1 < x < \infty\]