Решите неравенство $$\frac{2\log_2(8x) - 31}{\log_2^2x - \log_2x^8} \le 1$$.

Решим неравенство:

$$\frac{2\log_2(8x) - 31}{\log_2^2x - \log_2x^8} \le 1$$.

ОДЗ: $$x>0, x
eq 1$$

Преобразуем неравенство:

$$\frac{2(\log_2 8 + \log_2 x) - 31}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 1$$,

$$\frac{2(3 + \log_2 x) - 31}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 1$$,

$$\frac{6 + 2\log_2 x - 31}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 1$$,

$$\frac{2\log_2 x - 25}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 1$$,

$$\frac{2\log_2 x - 25}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} - 1 \le 0$$,

$$\frac{2\log_2 x - 25 - ((\log_2 x)^2 - 8\log_2 x)}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 0$$,

$$\frac{2\log_2 x - 25 - (\log_2 x)^2 + 8\log_2 x}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 0$$,

$$\frac{-\log_2^2 x + 10\log_2 x - 25}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \le 0$$,

$$\frac{(\log_2 x - 5)^2}{(\log_2 x)^2 - 8\log_2 x} \ge 0$$,

$$\frac{(\log_2 x - 5)^2}{\log_2 x(\log_2 x - 8)} \ge 0$$.

$$\log_2 x = 5$$, $$x = 2^5 = 32$$.

$$\log_2 x = 0$$, $$x = 1$$.

$$\log_2 x = 8$$, $$x = 2^8 = 256$$.

Рассмотрим числовую прямую:

+      +        -        +       +
(0)----(1)--------(32)----(256)----(+inf)

$$x \in (0; 1) \cup (256; +\infty) \cup \{32\}$$.

Ответ: $$x \in (0; 1) \cup \{32\} \cup (256; +\infty)$$