Решите неравенство \frac{4x^2 + 4x + 1}{2x^2 - 5x - 3} \ge 0.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²

Знаменатель: 2x² - 5x - 3 = 0

D = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49

x₁ = (5 + 7) / (2 * 2) = 12 / 4 = 3

x₂ = (5 - 7) / (2 * 2) = -2 / 4 = -0.5

2x² - 5x - 3 = 2 * (x - 3) * (x + 0.5) = (x - 3) * (2x + 1)

• Шаг 2: Запишем неравенство с разложенными на множители числителем и знаменателем:

• Шаг 3: Определим ОДЗ (область допустимых значений), исключив значения, при которых знаменатель равен нулю:

x ≠ 3, x ≠ -0.5

• Шаг 4: Упростим неравенство, учитывая ОДЗ:

Так как (2x + 1)² ≥ 0 всегда (кроме x = -0.5, но это значение исключено из ОДЗ), то можно сократить на (2x + 1) при условии x ≠ -0.5:

\[\frac{(2x + 1)^2}{(x - 3)(2x + 1)} = \frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0\]

• Шаг 5: Решим неравенство методом интервалов:

Нули числителя: 2x + 1 = 0 => x = -0.5

Нули знаменателя: x - 3 = 0 => x = 3

Отметим точки -0.5 и 3 на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

x < -0.5: ((-)) / ((-) - 3) = (+)

-0.5 < x < 3: ((+)) / ((+) - 3) = (-)

x > 3: ((+)) / ((+) - 3) = (+)

• Шаг 6: Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю:

x ≤ -0.5 или x > 3

Учитывая ОДЗ (x ≠ -0.5), получаем:

x = -0.5 или x > 3

Ответ: x = -0.5 или x > 3