14. Решите неравенство $$\frac{-27}{x^2-4x-21} \geq 0$$.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули знаменателя, для этого решим уравнение:

$$x^2 - 4x - 21 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 4$$

$$x_1 \cdot x_2 = -21$$

Корни уравнения: $$x_1 = -3$$, $$x_2 = 7$$.

2. Отметим на числовой прямой точки, в которых знаменатель обращается в нуль, то есть $$-3$$ и $$7$$. Так как неравенство нестрогое, то числитель может быть равен нулю, но в данном случае числитель всегда равен -27, то есть никогда не обращается в нуль.

------------(-3)++++++++++++++(7)-------------> x

3. Определим знаки выражения $$\frac{-27}{x^2-4x-21}$$ на каждом из интервалов. Возьмем число из каждого интервала и подставим в выражение $$\frac{-27}{x^2-4x-21}$$.

• Интервал $$(-\infty; -3)$$: возьмем $$x=-4$$, тогда $$\frac{-27}{(-4)^2 - 4 \cdot (-4) - 21} = \frac{-27}{16 + 16 - 21} = \frac{-27}{11} < 0$$.
• Интервал $$(-3; 7)$$: возьмем $$x=0$$, тогда $$\frac{-27}{0^2 - 4 \cdot 0 - 21} = \frac{-27}{-21} = \frac{9}{7} > 0$$.
• Интервал $$(7; +\infty)$$: возьмем $$x=8$$, тогда $$\frac{-27}{8^2 - 4 \cdot 8 - 21} = \frac{-27}{64 - 32 - 21} = \frac{-27}{11} < 0$$.

4. Выберем интервалы, на которых выражение $$\frac{-27}{x^2-4x-21}$$ больше или равно нулю. Это интервал $$(-3; 7)$$.

Ответ: $$x \in (-3; 7)$$