Решение дробно-рационального неравенства

Перенесем все слагаемые из правой части неравенства в левую:

$$\frac{x+3}{8-x} - 6 \ge 0$$

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:

$$\frac{x+3 - 6(8-x)}{8-x} \ge 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{x+3 - 48 + 6x}{8-x} \ge 0$$ $$\frac{7x - 45}{8-x} \ge 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $$7x - 45 = 0$$

$$7x = 45$$

$$x = \frac{45}{7}$$

$$x \approx 6.43$$

Знаменатель: $$8 - x = 0$$

$$x = 8$$

Отметим найденные значения на числовой прямой. Точка $$\frac{45}{7}$$ войдет в решение, так как неравенство нестрогое, а точка $$8$$ не войдет в решение, так как на ноль делить нельзя.

Определим знаки на каждом интервале. Возьмем значения $$x = 0$$, $$x = 7$$ и $$x = 9$$.

При $$x = 0$$: $$\frac{7 \cdot 0 - 45}{8 - 0} = \frac{-45}{8} < 0$$

При $$x = 7$$: $$\frac{7 \cdot 7 - 45}{8 - 7} = \frac{49 - 45}{1} = 4 > 0$$

При $$x = 9$$: $$\frac{7 \cdot 9 - 45}{8 - 9} = \frac{63 - 45}{-1} = \frac{18}{-1} < 0$$

Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю:

$$\frac{45}{7} \le x < 8$$

Ответ: $$\left[ \frac{45}{7}; 8 \right)$$