Решите неравенство: $$\frac{x+7}{3x+2}-6 \le -5$$

Для решения неравенства $$\frac{x+7}{3x+2} - 6 \le -5$$, сначала упростим его, перенеся все члены в левую часть:

$$\frac{x+7}{3x+2} - 6 + 5 \le 0$$

$$\frac{x+7}{3x+2} - 1 \le 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{x+7 - (3x+2)}{3x+2} \le 0$$

$$\frac{x+7 - 3x - 2}{3x+2} \le 0$$

$$\frac{-2x + 5}{3x+2} \le 0$$

Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак в числителе (не забываем изменить знак неравенства):

$$\frac{2x - 5}{3x+2} \ge 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $$2x - 5 = 0$$

$$2x = 5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2.5$$

Знаменатель: $$3x + 2 = 0$$

$$3x = -2$$

$$x = -\frac{2}{3}$$

Отметим эти точки на числовой прямой:

       +           -           +
------(-2/3)-------(5/2)-------> x

Определим знаки на каждом интервале. Возьмем тестовые значения:

• $$x = -1$$: $$\frac{2(-1) - 5}{3(-1)+2} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$$ (знак +)
• $$x = 0$$: $$\frac{2(0) - 5}{3(0)+2} = \frac{-5}{2} < 0$$ (знак -)
• $$x = 3$$: $$\frac{2(3) - 5}{3(3)+2} = \frac{1}{11} > 0$$ (знак +)

Так как нам нужно $$\frac{2x - 5}{3x+2} \ge 0$$, выбираем интервалы, где функция положительна или равна нулю. Точка $$x = 2.5$$ включается, а точка $$x = -\frac{2}{3}$$ исключается, так как в ней знаменатель равен нулю.

Ответ: $$x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup [\frac{5}{2}; +\infty)$$