6. Решите неравенство: $$\sqrt{x+8} > x+2.$$

Решим неравенство $$\sqrt{x+8} > x+2$$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной x.

   Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

   $$x + 8 \geq 0$$

   $$x \geq -8$$

2. Рассмотрим два случая:

   • Случай 1: Если $$x + 2 < 0$$, то неравенство выполняется автоматически, так как корень всегда неотрицателен.

     $$x < -2$$

     Учитывая ОДЗ, получаем $$ -8 \leq x < -2 $$.

   • Случай 2: Если $$x + 2 \geq 0$$, то обе части неравенства можно возвести в квадрат.

     $$x \geq -2$$

     Возводим обе части в квадрат:

     $$(\sqrt{x+8})^2 > (x+2)^2$$

     $$x + 8 > x^2 + 4x + 4$$

     $$0 > x^2 + 3x - 4$$

     $$x^2 + 3x - 4 < 0$$

     Решим квадратное уравнение $$x^2 + 3x - 4 = 0$$.

     Дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

     Корни: $$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$ и $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

     Так как $$x^2 + 3x - 4 < 0$$, то $$ -4 < x < 1 $$.

     Учитывая условие $$x \geq -2$$, получаем $$ -2 \leq x < 1 $$.

3. Объединяем решения из обоих случаев:

   $$ -8 \leq x < -2 $$ и $$ -2 \leq x < 1 $$

   Получаем $$ -8 \leq x < 1 $$.

Ответ: $$x \in [-8; 1)$$.