5. Решите неравенство: √x+8 > x + 2.

Решим неравенство $$\sqrt{x+8} > x + 2$$.

ОДЗ: $$x + 8 \ge 0$$, значит $$x \ge -8$$.

Рассмотрим два случая:

1) Если $$x + 2 < 0$$, то есть $$x < -2$$, то неравенство выполняется, так как корень всегда неотрицателен.

Учитывая ОДЗ, получаем $$x \in [-8; -2)$$.

2) Если $$x + 2 \ge 0$$, то есть $$x \ge -2$$, возведем обе части неравенства в квадрат:

$$x + 8 > (x + 2)^2$$.

$$x + 8 > x^2 + 4x + 4$$.

$$x^2 + 3x - 4 < 0$$.

Решим квадратное уравнение $$x^2 + 3x - 4 = 0$$.

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$.

$$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$.

$$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$.

Так как ветви параболы направлены вверх, то решением неравенства $$x^2 + 3x - 4 < 0$$ является интервал $$(-4; 1)$$.

Учитывая условие $$x \ge -2$$, получаем $$x \in [-2; 1)$$.

Объединяя оба случая, получаем ответ: $$x \in [-8; 1)$$.

Ответ: $$x \in [-8; 1)$$.