Решите неравенство \(\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + x - 3} \le 0\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем числитель и знаменатель:
   Числитель: \(16x^2 - 24x + 9 = (4x - 3)^2\)
   Знаменатель: \(4x^2 + x - 3 = (x - \frac{3}{4})(4x + 4) = 4(x - \frac{3}{4})(x + 1)\)
2. Шаг 2: Запишем неравенство в виде:
   \[\frac{(4x - 3)^2}{4(x - \frac{3}{4})(x + 1)} \le 0\]
   \[\frac{(4x - 3)^2}{4(x - \frac{3}{4})(x + 1)} \le 0\]
3. Шаг 3: Находим нули числителя и знаменателя:
   Числитель: \((4x - 3)^2 = 0\) \(x = \frac{3}{4}\)
   Знаменатель: \(4(x - \frac{3}{4})(x + 1) = 0\) \(x = \frac{3}{4}\) или \(x = -1\)
4. Шаг 4: Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:
   • \(x = -1\) – точка разрыва (знаменатель равен нулю)
   • \(x = \frac{3}{4}\) – нуль числителя, но в знаменателе тоже есть этот корень.

   Проверим знаки на интервалах:

   • \(x < -1\): \(\frac{(+)}{(-)(+)} > 0\)
   • \(-1 < x < \frac{3}{4}\): \(\frac{(+)}{(+)(+)} > 0\)
   • \(x > \frac{3}{4}\): \(\frac{(+)}{(+)(+)} > 0\)
5. Шаг 5: Проанализируем знак неравенства:
   • Так как неравенство \(\le 0\), нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
   • Выражение равно нулю при \(x = \frac{3}{4}\), но при этом значении знаменатель также равен нулю, то есть \(x = \frac{3}{4}\) исключается.

Ответ: \(x \in \{-1\} \)