15. Решите неравенство \(\frac{8x^3+4x^2-2x-1}{81x^2-6 \cdot 9x^2 +9} \leq 0.\)

Давай решим это неравенство вместе!

1. Преобразуем знаменатель:

\[81x^4 - 6 \cdot 9x^2 + 9 = (9x^2)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 (x^2) + 3^2 = (9x^2 - 3)^2\]

2. Разложим числитель на множители. Заметим, что если \(x = \frac{1}{2}\), то числитель обращается в ноль: \[8 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0\] Значит, \((2x - 1)\) является множителем числителя. Разделим числитель на \((2x-1)\) столбиком или другим удобным способом: \[\frac{8x^3 + 4x^2 - 2x - 1}{2x-1} = 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2\] Таким образом, числитель можно представить как \((2x-1)(2x+1)^2\).

3. Теперь запишем неравенство в виде: \[\frac{(2x-1)(2x+1)^2}{(9x^2-3)^2} \leq 0\] Заметим, что знаменатель всегда положителен (или равен нулю), так как это квадрат. Числитель должен быть меньше или равен нулю. Рассмотрим два случая:

• 1. \((2x+1)^2 = 0\), тогда \(x = -\frac{1}{2}\).
  2. \((2x+1)^2 > 0\), тогда \(2x - 1 \leq 0\), откуда \(x \leq \frac{1}{2}\).

4. Однако, нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю: \[9x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\] Эти точки нужно исключить из решения.

5. Объединим полученные результаты. Решением неравенства будет: \[x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{1}{2}\right] \cup \left[-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2}\right]\]

Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{1}{2}\right] \cup \left[-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2}\right]\)

Отлично! Ты справился с этим сложным неравенством. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!