14. Решите неравенство \(\frac{-27}{x^2-4x-21} \ge 0.\)

Решение:

Давай решим данное неравенство. Сначала определим, когда дробь \(\frac{-27}{x^2-4x-21}\) больше или равна нулю.

Числитель дроби равен \(-27\), что является отрицательным числом. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным (так как отрицательное число, деленное на отрицательное, дает положительное число).

Таким образом, нам нужно решить неравенство:

\[x^2 - 4x - 21 < 0\]

Сначала найдем корни квадратного уравнения:

\[x^2 - 4x - 21 = 0\]

Используем дискриминант:

\[D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных корня:

\[x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Теперь мы знаем, что корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\) это \(x = 7\) и \(x = -3\). Поскольку нам нужно решить неравенство \(x^2 - 4x - 21 < 0\), рассмотрим интервалы, образованные этими корнями:

• \(x < -3\)
• \(-3 < x < 7\)
• \(x > 7\)

Подставим значение из каждого интервала в неравенство \(x^2 - 4x - 21 < 0\) для проверки:

• Если \(x = -4\) (из интервала \(x < -3\)), то \((-4)^2 - 4(-4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11 > 0\), следовательно, этот интервал не подходит.
• Если \(x = 0\) (из интервала \(-3 < x < 7\)), то \((0)^2 - 4(0) - 21 = -21 < 0\), следовательно, этот интервал подходит.
• Если \(x = 8\) (из интервала \(x > 7\)), то \((8)^2 - 4(8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11 > 0\), следовательно, этот интервал не подходит.

Таким образом, решением неравенства является интервал \(-3 < x < 7\). Важно отметить, что корни \(x = -3\) и \(x = 7\) не входят в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: \(x \in (-3; 7)\)

Отлично! Ты справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!