Решите неравенство \(\frac{(x+3)^3(x-2)}{x^2-3x-18} \) ≤0.

Решение:

Пошаговое решение:

1. Разложим знаменатель:

   Решим уравнение \(x^2 - 3x - 18 = 0\). Используем теорему Виета или дискриминант.

   Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81\)

   Корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = -3\)

   Таким образом, \(x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)\)

2. Запишем неравенство с разложенным знаменателем:

   \(\frac{(x+3)^3(x-2)}{(x-6)(x+3)} ≤ 0\)

3. Сократим дробь:

   При \(x ≠ -3\), можно сократить \((x+3)\), но учитываем, что \(x=-3\) не входит в решение.

   \(\frac{(x+3)^2(x-2)}{(x-6)} ≤ 0\)

4. Анализ знаков:

   Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{(x+3)^2(x-2)}{(x-6)}\)

   Корни числителя: \(x = -3\) (кратности 2), \(x = 2\)

   Корень знаменателя: \(x = 6\)

5. Метод интервалов:

   Отметим точки -3, 2 и 6 на числовой прямой. Расставим знаки функции на интервалах:

   • \(x < -3\): \(f(x) = \frac{(+)(-)}{(-)} > 0\)
   • \(-3 < x < 2\): \(f(x) = \frac{(+)(-)}{(-)} > 0\)
   • \(2 < x < 6\): \(f(x) = \frac{(+)(+)}{(-)} < 0\)
   • \(x > 6\): \(f(x) = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0\)
6. Вывод:

   Неравенство выполняется, когда \(f(x) ≤ 0\). Это происходит на интервале \([2; 6)\).

   Поскольку \(x = -3\) не входит в область определения, но \((x+3)^2 ≥ 0\), то \(x=-3\) тоже решение, но мы его исключили при сокращении. Однако учтем, что при x = -3 числитель обращается в нуль, и неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in \{-3\} \cup [2; 6)\)