Решите неравенство \(\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \ge 0\).

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Привет! Давай решим это неравенство вместе. У тебя всё получится!

\(\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \ge 0\)

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \(4x^2+4x+1 = (2x+1)^2\)

Знаменатель: \(2x^2-5x-3\)

Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-5x-3=0\).

Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)

\(x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3\)

\(x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Знаменатель можно представить в виде \(2(x-3)(x+\frac{1}{2}) = (x-3)(2x+1)\).

Итак, наше неравенство имеет вид:

\(\frac{(2x+1)^2}{(x-3)(2x+1)} \ge 0\)

Сокращаем дробь:

\(\frac{2x+1}{x-3} \ge 0\), при условии, что \(2x+1
e 0\), т.е. \(x
e -\frac{1}{2}\).

Решим неравенство методом интервалов:

1) \(2x+1 = 0\)

\(x = -\frac{1}{2}\)

2) \(x-3 = 0\)

\(x = 3\)

Отметим точки \(-\frac{1}{2}\) и \(3\) на числовой прямой.

    +             -             +

------------------------------------

----(-1/2)----(3)---->

Рассмотрим знаки на интервалах:

1) \(x < -\frac{1}{2}\): \(\frac{2x+1}{x-3} > 0\) (например, при \(x = -1\): \(\frac{-1}{-4} > 0\))

2) \(-\frac{1}{2} < x < 3\): \(\frac{2x+1}{x-3} < 0\) (например, при \(x = 0\): \(\frac{1}{-3} < 0\))

3) \(x > 3\): \(\frac{2x+1}{x-3} > 0\) (например, при \(x = 4\): \(\frac{9}{1} > 0\))

Так как неравенство нестрогое, то \(2x+1 = 0\), то есть \(x=-\frac{1}{2}\) является решением.

Но, так как при сокращении дроби было условие, что \(x
e -\frac{1}{2}\), эта точка не входит в решение.

Таким образом, решением являются интервалы \(x < -\frac{1}{2}\) и \(x > 3\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)\)

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!