Решите неравенство \(\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \geq 0\).

• Шаг 1: Анализ числителя

Числитель \(4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2\) всегда неотрицателен, т.е. \((2x+1)^2 \geq 0\) при любом x. Он равен нулю при \(x = -\frac{1}{2}\).

• Шаг 2: Анализ знаменателя

Рассмотрим знаменатель \(2x^2 - 5x - 3\). Разложим его на множители:

\(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)

\(x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\)

\(x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, \(2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2})\).

• Шаг 3: Учёт ограничений

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(x
eq 3\) и \(x
eq -\frac{1}{2}\).

• Шаг 4: Решение неравенства

Неравенство можно переписать как:

\[\frac{(2x+1)^2}{2(x - 3)(x + \frac{1}{2})} \geq 0\]

Так как числитель всегда неотрицателен, неравенство выполняется, когда знаменатель положителен или равен нулю (кроме точек, где знаменатель равен нулю).

Рассмотрим знак \((x - 3)(x + \frac{1}{2})\).

• \(x < -\frac{1}{2}\): оба множителя отрицательны, произведение положительно.
• \(-\frac{1}{2} < x < 3\): \((x - 3)\) отрицателен, \((x + \frac{1}{2})\) положителен, произведение отрицательно.
• \(x > 3\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Учитывая, что числитель равен нулю при \(x = -\frac{1}{2}\) и знаменатель не должен быть равен нулю, решением является \(x \in \(-\infty; -\frac{1}{2} \] \cup (3; +\infty) \)