Решите неравенство \(\frac{1}{x} \geq \frac{1}{x-3}\).

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

Приведем к общему знаменателю:

Умножим обе части неравенства на -1 (знак неравенства изменится):

Найдем значения x, при которых числитель или знаменатель равны нулю. В данном случае числитель всегда равен 1 и никогда не равен нулю. Знаменатель равен нулю при x = 0 и x = 3.

Отметим точки 0 и 3 на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: \((-\infty; 0)\), \((0; 3)\), \((3; +\infty)\).

Определим знак выражения \(\frac{1}{x(x-3)}\) на каждом интервале:

• Интервал \((-\infty; 0)\): выберем x = -1. Тогда \(\frac{1}{(-1)(-1-3)} = \frac{1}{4} > 0\)
• Интервал \((0; 3)\): выберем x = 1. Тогда \(\frac{1}{(1)(1-3)} = \frac{1}{-2} < 0\)
• Интервал \((3; +\infty)\): выберем x = 4. Тогда \(\frac{1}{(4)(4-3)} = \frac{1}{4} > 0\)

Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал \((0; 3)\). Так как неравенство нестрогое, нужно проверить, входят ли точки, где знаменатель равен нулю. В данном случае, x не может быть равен 0 или 3, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, решением неравенства является интервал \((0; 3)\).

Ответ: \(x \in (0; 3)\)

Проверка за 10 секунд: подставьте значения из полученного интервала и убедитесь, что неравенство выполняется.

Доп. профит: Понимание, как решать неравенства с дробями, поможет вам в более сложных задачах анализа функций и оптимизации.