14. Решите неравенство \(\frac{9+4x}{x^2+4x-45} \le 0.\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем нули числителя:
   \[9 + 4x = 0\]\[4x = -9\]\[x = -\frac{9}{4} = -2.25\]
2. Шаг 2: Найдем нули знаменателя:
   \[x^2 + 4x - 45 = 0\]
   По теореме Виета:
   \[x_1 + x_2 = -4\]\[x_1 \cdot x_2 = -45\]
   Корни: \( x_1 = -9 \) и \( x_2 = 5 \)
3. Шаг 3: Разложим знаменатель на множители:
   \[x^2 + 4x - 45 = (x + 9)(x - 5)\]
4. Шаг 4: Перепишем неравенство:
   \[\frac{4(x + 2.25)}{(x + 9)(x - 5)} \le 0\]
5. Шаг 5: Метод интервалов:
   Отметим на числовой прямой точки \( -9 \), \( -2.25 \) и \( 5 \).
   Определим знаки на интервалах:
   
   • \( x < -9 \): Все три скобки отрицательные, результат отрицательный.
   • \( -9 < x < -2.25 \): Две скобки отрицательные, одна положительная, результат положительный.
   • \( -2.25 < x < 5 \): Одна скобка отрицательная, две положительные, результат отрицательный.
   • \( x > 5 \): Все три скобки положительные, результат положительный.
   
   Неравенство \( \le 0 \) выполняется на интервалах \( x < -9 \) и \( -2.25 < x < 5 \).
   Так как неравенство нестрогое, точка \( -2.25 \) включается в решение. Точки \( -9 \) и \( 5 \) не включаются, так как в них знаменатель равен нулю.

Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup [-2.25; 5) \)