Решите неравенство \(\sqrt{5-x^2} > x - 1\). В ответ запишите количество целых решений неравенства.

Решение

Давайте решим данное неравенство. Сначала запишем область определения для квадратного корня:

\[5 - x^2 \geq 0\] \[x^2 \leq 5\] \[-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \(x - 1 < 0\), то есть \(x < 1\), то неравенство \(\sqrt{5-x^2} > x - 1\) выполняется автоматически, так как квадратный корень всегда неотрицателен. Таким образом, решением в этом случае является интервал \([-\sqrt{5}; 1)\).

2. Если \(x - 1 \geq 0\), то есть \(x \geq 1\), то обе части неравенства можно возвести в квадрат:

   \[5 - x^2 > (x - 1)^2\] \[5 - x^2 > x^2 - 2x + 1\] \[0 > 2x^2 - 2x - 4\] \[0 > x^2 - x - 2\] \[x^2 - x - 2 < 0\]

   Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\):

   \[D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\]

   Таким образом, \(x^2 - x - 2 < 0\) при \(x \in (-1; 2)\). Учитывая условие \(x \geq 1\), получаем интервал \([1; 2)\).

Объединяя оба случая, получаем решением неравенства интервал \([-\sqrt{5}; 2)\). Поскольку \(\sqrt{5} \approx 2.236\), то интервал можно записать как \([-2.236; 2)\). Целые решения неравенства: -2, -1, 0, 1.

Количество целых решений: 4.

Ответ: 4