4. Решите неравенство \frac{16^{x}-4\cdot4^{x}+12}{4^{x}-1} \leq 4.

Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ [1; +∞)

Пошаговое решение:

Шаг 1: Преобразуем неравенство

\[\frac{16^{x}-4 \cdot 4^{x}+12}{4^{x}-1} \leq 4\]\[\frac{16^{x}-4 \cdot 4^{x}+12}{4^{x}-1} - 4 \leq 0\]\[\frac{16^{x}-4 \cdot 4^{x}+12 - 4(4^{x}-1)}{4^{x}-1} \leq 0\]\[\frac{16^{x}-4 \cdot 4^{x}+12 - 4 \cdot 4^{x}+4}{4^{x}-1} \leq 0\]\[\frac{16^{x}-8 \cdot 4^{x}+16}{4^{x}-1} \leq 0\]

Шаг 2: Сделаем замену переменной

Пусть \(t = 4^{x}\), тогда \(t^{2} = 16^{x}\). Неравенство примет вид:

\[\frac{t^{2}-8t+16}{t-1} \leq 0\]

Шаг 3: Упростим числитель

Заметим, что числитель является полным квадратом:

\[t^{2}-8t+16 = (t-4)^{2}\]

Тогда неравенство можно переписать так:

\[\frac{(t-4)^{2}}{t-1} \leq 0\]

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной

\[\frac{(4^{x}-4)^{2}}{4^{x}-1} \leq 0\]

Шаг 5: Анализ решения

Заметим, что \((4^{x}-4)^{2} \geq 0\) при любом x. Следовательно, неравенство выполняется, когда числитель равен нулю или когда знаменатель отрицателен.

Случай 1: Числитель равен нулю

\[(4^{x}-4)^{2} = 0\]\[4^{x}-4 = 0\]\[4^{x} = 4\]\[x = 1\]

Случай 2: Знаменатель отрицателен

\[4^{x}-1 < 0\]\[4^{x} < 1\]\[4^{x} < 4^{0}\]\[x < 0\]

Шаг 6: Объединим решения

Итак, у нас есть два решения: \(x = 1\) и \(x < 0\). Объединяя их, получаем:

\[x \in (-\infty; 0) \cup \{1\}\]

Поскольку \(x = 1\) является решением, включим его в интервал, то есть:

\[x \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)\]

В итоге:

Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ [1; +∞)