Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
16. Решите неравенство: $$\frac{x^2-5x+4}{(x^2+2)(x+2)} \le 0$$
Ответ:
Для решения неравенства $$\frac{x^2-5x+4}{(x^2+2)(x+2)} \le 0$$, сначала найдем нули числителя и знаменателя.
1. Найдем нули числителя:
Решим квадратное уравнение $$x^2 - 5x + 4 = 0$$.
Используем теорему Виета:
$$x_1 + x_2 = 5$$
$$x_1 \cdot x_2 = 4$$
Отсюда $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 4$$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$$.
2. Найдем нули знаменателя:
Знаменатель: $$(x^2 + 2)(x + 2)$$.
Выражение $$x^2 + 2$$ всегда положительно, так как $$x^2 \ge 0$$ для любого x, и $$x^2 + 2 \ge 2 > 0$$. Следовательно, $$x^2 + 2$$ не влияет на знак неравенства.
Остается множитель $$(x + 2)$$. Он обращается в нуль при $$x = -2$$.
3. Определим знак неравенства:
Теперь у нас есть нули: $$-2, 1, 4$$. Отметим их на числовой прямой.
Рассмотрим числовую прямую с отмеченными точками -2, 1 и 4:
`----(-2)----(1)----(4)----> X`
Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $$(-\infty; -2), (-2; 1), (1; 4), (4; +\infty)$$.
Определим знак выражения $$\frac{(x - 1)(x - 4)}{(x + 2)}$$ на каждом интервале:
- На интервале $$(-\infty; -2)$$, например, при $$x = -3$$: $$\frac{(-3 - 1)(-3 - 4)}{(-3 + 2)} = \frac{(-4)(-7)}{(-1)} = -28 < 0$$.
- На интервале $$(-2; 1)$$, например, при $$x = 0$$: $$\frac{(0 - 1)(0 - 4)}{(0 + 2)} = \frac{(-1)(-4)}{2} = 2 > 0$$.
- На интервале $$(1; 4)$$, например, при $$x = 2$$: $$\frac{(2 - 1)(2 - 4)}{(2 + 2)} = \frac{(1)(-2)}{4} = -\frac{1}{2} < 0$$.
- На интервале $$(4; +\infty)$$, например, при $$x = 5$$: $$\frac{(5 - 1)(5 - 4)}{(5 + 2)} = \frac{(4)(1)}{7} = \frac{4}{7} > 0$$.
Таким образом, неравенство $$\frac{(x - 1)(x - 4)}{(x + 2)} \le 0$$ выполняется на интервалах $$(-\infty; -2)$$ и $$(1; 4)$$.
Поскольку неравенство нестрогое, точки, в которых числитель равен нулю, включаются в решение.
Ответ: $$(-\infty; -2) \cup [1; 4]$$
