Решите неравенство \frac{3x^2-2x-1}{5x+1}≤0.

Шаг 1: Найдем нули числителя

Решим квадратное уравнение 3x² - 2x - 1 = 0

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Шаг 2: Найдем нули знаменателя

Решим линейное уравнение 5x + 1 = 0

\[5x = -1\] \[x = -\frac{1}{5}\]

Шаг 3: Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на интервалах

Отметим точки -1/3, -1/5 и 1 на числовой прямой:

---------------------------------------------------->
       +       -1/3     -1/5        1        +
---------------------------------------------------->

• x < -1/3: Например, x = -1. Тогда \(\frac{3(-1)^2 - 2(-1) - 1}{5(-1) + 1} = \frac{3 + 2 - 1}{-5 + 1} = \frac{4}{-4} = -1 < 0\)
• -1/3 < x < -1/5: Например, x = -0.25. Тогда \(\frac{3(-0.25)^2 - 2(-0.25) - 1}{5(-0.25) + 1} = \frac{3(0.0625) + 0.5 - 1}{-1.25 + 1} = \frac{0.1875 + 0.5 - 1}{-0.25} = \frac{-0.3125}{-0.25} = 1.25 > 0\)
• -1/5 < x < 1: Например, x = 0. Тогда \(\frac{3(0)^2 - 2(0) - 1}{5(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1 < 0\)
• x > 1: Например, x = 2. Тогда \(\frac{3(2)^2 - 2(2) - 1}{5(2) + 1} = \frac{12 - 4 - 1}{10 + 1} = \frac{7}{11} > 0\)

Шаг 4: Запишем решение

Решение неравенства:

\[x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (-\frac{1}{5}; 1]\]

Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (-\frac{1}{5}; 1]\)