Решение неравенства

Для решения неравенства $$\frac{x^2-3x-2}{3-x} \le 0$$ необходимо найти нули числителя и знаменателя, а затем определить знаки выражения на различных интервалах.

1. Найдем нули числителя:

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 3x - 2 = 0$$

Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае: $$a = 1$$, $$b = -3$$, $$c = -2$$

Тогда: $$D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$$

2. Найдем нули знаменателя:

Решим уравнение $$3 - x = 0$$

$$x = 3$$

3. Отметим найденные точки на числовой прямой:

Точки: $$\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$$, $$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$ и $$3$$. Важно отметить, что точка $$x=3$$ исключена, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Приблизительные значения:

$$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0.56$$

$$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56$$

Точка 3 остается равной 3.

Координатная прямая:

----(-0.56)----(3)----(3.56)----> X

В точке $$x=3$$ функция не определена, поэтому на числовой прямой отмечаем её как выколотую.

4. Определим знаки на интервалах:

• Интервал $$(-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$$: Подставим $$x = -1$$: $$\frac{(-1)^2 - 3(-1) - 2}{3 - (-1)} = \frac{1 + 3 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} > 0$$. Значит, на этом интервале выражение положительное.
• Интервал $$(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; 3)$$: Подставим $$x = 0$$: $$\frac{0^2 - 3(0) - 2}{3 - 0} = \frac{-2}{3} < 0$$. Значит, на этом интервале выражение отрицательное.
• Интервал $$(3; \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$$: Подставим $$x = 3.5$$: $$\frac{(3.5)^2 - 3(3.5) - 2}{3 - 3.5} = \frac{12.25 - 10.5 - 2}{-0.5} = \frac{-0.25}{-0.5} = 0.5 > 0$$. Значит, на этом интервале выражение положительное.
• Интервал $$(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$$: Подставим $$x = 4$$: $$\frac{4^2 - 3(4) - 2}{3 - 4} = \frac{16 - 12 - 2}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$$. Значит, на этом интервале выражение отрицательное.

5. Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю:

Нам нужны интервалы, где выражение $$\frac{x^2-3x-2}{3-x} \le 0$$. Это интервалы, где выражение отрицательное или равно нулю.

Таким образом, решение:

$$x \in [\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; 3) \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$$.

Или, приблизительно:

$$x \in [-0.56; 3) \cup [3.56; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in [\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; 3) \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$$.