Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решите неравенство: 1) (1/6)^(3x-12) ≤ 36^(x+7); 2) 4^(5x-1) > 16^(2x+8); 3) 7^(x²-2x-7) ≥ 7; 4) 3^(x+1) + 3^(x+3) < 270; 5) (5/7)^(4-x) ≥ 25/49.
Ответ:
Давай разберем эти неравенства по порядку. Я помогу тебе решить каждое из них шаг за шагом.
1) \(\left(\frac{1}{6}\right)^{3x-12} \leq 36^{x+7}\)
Преобразуем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что \(36 = 6^2\) и \(\frac{1}{6} = 6^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как:
\[ (6^{-1})^{3x-12} \leq (6^2)^{x+7} \]
\[ 6^{-3x+12} \leq 6^{2x+14} \]
Так как основание больше 1, мы можем опустить основание и сохранить знак неравенства:
\[ -3x + 12 \leq 2x + 14 \]
\[ -3x - 2x \leq 14 - 12 \]
\[ -5x \leq 2 \]
\[ x \geq -\frac{2}{5} \]
\[ x \geq -0.4 \]
2) \(4^{5x-1} > 16^{2x+8}\)
Преобразуем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что \(16 = 4^2\). Тогда неравенство можно переписать как:
\[ 4^{5x-1} > (4^2)^{2x+8} \]
\[ 4^{5x-1} > 4^{4x+16} \]
Так как основание больше 1, мы можем опустить основание и сохранить знак неравенства:
\[ 5x - 1 > 4x + 16 \]
\[ 5x - 4x > 16 + 1 \]
\[ x > 17 \]
3) \(7^{x^2-2x-7} \geq 7\)
Представим правую часть как \(7^1\):
\[ 7^{x^2-2x-7} \geq 7^1 \]
Так как основание больше 1, мы можем опустить основание и сохранить знак неравенства:
\[ x^2 - 2x - 7 \geq 1 \]
\[ x^2 - 2x - 8 \geq 0 \]
Решим квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Его корни:
\( D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)
\[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
Теперь рассмотрим знак неравенства \(x^2 - 2x - 8 \geq 0\). Парабола направлена вверх, поэтому решением будет:
\[ x \in (-\infty, -2] \cup [4, +\infty) \]
4) \(3^{x+1} + 3^{x+3} < 270\)
Преобразуем левую часть неравенства:
\[ 3^{x+1} + 3^{x+3} = 3^{x+1} + 3^{x+1+2} = 3^{x+1} + 3^{x+1} \cdot 3^2 = 3^{x+1}(1 + 9) = 10 \cdot 3^{x+1} \]
Тогда неравенство можно переписать как:
\[ 10 \cdot 3^{x+1} < 270 \]
\[ 3^{x+1} < 27 \]
\[ 3^{x+1} < 3^3 \]
Так как основание больше 1, мы можем опустить основание и сохранить знак неравенства:
\[ x + 1 < 3 \]
\[ x < 2 \]
5) \(\left(\frac{5}{7}\right)^{4-x} \geq \frac{25}{49}\)
Преобразуем правую часть неравенства. Заметим, что \(\frac{25}{49} = \left(\frac{5}{7}\right)^2\). Тогда неравенство можно переписать как:
\[ \left(\frac{5}{7}\right)^{4-x} \geq \left(\frac{5}{7}\right)^2 \]
Так как основание меньше 1, мы должны изменить знак неравенства при опускании основания:
\[ 4 - x \leq 2 \]
\[ -x \leq 2 - 4 \]
\[ -x \leq -2 \]
\[ x \geq 2 \]
Ответ:
- 1) x ≥ -0.4
- 2) x > 17
- 3) x ∈ (-∞, -2] ∪ [4, +∞)
- 4) x < 2
- 5) x ≥ 2
