Решите неравенство: 3ˣ - 8 - (2⋅3ˣ⋅3 - 19) / (9ˣ - 5⋅3ˣ + 6) < 1 / (3ˣ - 3).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Замена переменной

Пусть \( t = 3^x \), тогда неравенство примет вид:\[ t - 8 - \frac{2 \cdot t \cdot 3 - 19}{t^2 - 5t + 6} < \frac{1}{t - 3} \]

• Шаг 2: Упрощение выражения

Преобразуем числитель дроби:\[ t - 8 - \frac{6t - 19}{t^2 - 5t + 6} < \frac{1}{t - 3} \]

• Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Разложим знаменатель второй дроби на множители. Заметим, что \( t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) \). Тогда получаем:\[ t - 8 - \frac{6t - 19}{(t - 2)(t - 3)} - \frac{1}{t - 3} < 0 \]\[ \frac{(t - 8)(t - 2)(t - 3) - (6t - 19) - (t - 2)}{(t - 2)(t - 3)} < 0 \]

• Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки в числителе:\[ \frac{(t - 8)(t^2 - 5t + 6) - 6t + 19 - t + 2}{(t - 2)(t - 3)} < 0 \]\[ \frac{t^3 - 5t^2 + 6t - 8t^2 + 40t - 48 - 7t + 21}{(t - 2)(t - 3)} < 0 \]\[ \frac{t^3 - 13t^2 + 39t - 27}{(t - 2)(t - 3)} < 0 \]

• Шаг 5: Разложение числителя на множители

Заметим, что \( t = 1 \) является корнем числителя, так как \( 1 - 13 + 39 - 27 = 0 \). Разделим числитель на \( (t - 1) \):\[ t^3 - 13t^2 + 39t - 27 = (t - 1)(t^2 - 12t + 27) \]Разложим квадратный трехчлен на множители:\[ t^2 - 12t + 27 = (t - 3)(t - 9) \]Тогда числитель можно записать как:\[ (t - 1)(t - 3)(t - 9) \]

Итак, получаем:\[ \frac{(t - 1)(t - 3)(t - 9)}{(t - 2)(t - 3)} < 0 \]

• Шаг 6: Сокращение и решение неравенства методом интервалов

Сокращаем \( (t - 3) \) (с учетом, что \( t
eq 3 \)):\[ \frac{(t - 1)(t - 9)}{(t - 2)} < 0 \]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки 1, 2, 9 на числовой прямой и определяем знаки на интервалах:\[ (-\infty; 1) \cup (2; 9) \]

• Шаг 7: Возврат к исходной переменной

Возвращаемся к замене \( t = 3^x \). Получаем два неравенства:\[ 3^x < 1 \]и\[ 2 < 3^x < 9 \]

• Шаг 8: Решение неравенств

Для первого неравенства:\[ 3^x < 1 \Rightarrow 3^x < 3^0 \Rightarrow x < 0 \]

Для второго неравенства:\[ 2 < 3^x < 9 \Rightarrow \log_3{2} < x < \log_3{9} \Rightarrow \log_3{2} < x < 2 \]

• Шаг 9: Учет ограничения t ≠ 3

Так как \( t
eq 3 \), то \( 3^x
eq 3 \Rightarrow x
eq 1 \). Поскольку \( 1 \) входит в интервал \( (\log_3{2}; 2) \), его нужно исключить.

Окончательное решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3{2}; 1) \cup (1; 2) \)

Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3{2}; 1) \cup (1; 2) \)