Решите неравенство √ 10 - log2 x7 + log2^2 x ≥ log2 8/x. В ответе укажите количество натуральных чисел, которые не являются решениями неравенства. Если таких чисел бесконечно много, то введите 1000.

Решение

Давай решим это логарифмическое неравенство с квадратным корнем по шагам.

1. Запишем исходное неравенство:

\[\sqrt{10 - \log_2 x^7 + (\log_2 x)^2} \ge \log_2 \frac{8}{x}.\]

2. Упростим выражение:

Преобразуем \(\log_2 x^7\) как \(7 \log_2 x\). Тогда неравенство примет вид:

\[\sqrt{10 - 7\log_2 x + (\log_2 x)^2} \ge \log_2 8 - \log_2 x,\] \[\sqrt{10 - 7\log_2 x + (\log_2 x)^2} \ge 3 - \log_2 x.\]

3. Введём замену переменной:

Пусть \(t = \log_2 x\). Тогда неравенство станет:

\[\sqrt{10 - 7t + t^2} \ge 3 - t.\]

4. Решим неравенство с квадратным корнем:

Для начала определим ОДЗ (область допустимых значений) подкоренного выражения:

\[10 - 7t + t^2 \ge 0.\]

Найдём корни квадратного уравнения \(t^2 - 7t + 10 = 0\):

\[t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}.\]

Корни: \(t_1 = 2\), \(t_2 = 5\). Следовательно, \(t^2 - 7t + 10 \ge 0\) при \(t \le 2\) или \(t \ge 5\).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \(3 - t \le 0\) (то есть \(t \ge 3\)), то неравенство верно, так как квадратный корень всегда неотрицателен. Учитывая ОДЗ, получаем \(t \ge 5\).
2. Если \(3 - t > 0\) (то есть \(t < 3\)), то возведём обе части неравенства в квадрат: \[10 - 7t + t^2 \ge (3 - t)^2,\] \[10 - 7t + t^2 \ge 9 - 6t + t^2,\] \[1 \ge t.\]

   Учитывая условие \(t < 3\) и ОДЗ, получаем \(t \le 1\).

5. Вернёмся к исходной переменной:

1. \(t \ge 5\) означает \(\log_2 x \ge 5\), то есть \(x \ge 2^5 = 32\).
2. \(t \le 1\) означает \(\log_2 x \le 1\), то есть \(x \le 2^1 = 2\).

6. Учтем ОДЗ для логарифма:

Так как у нас есть \(\log_2 x\), необходимо учесть, что \(x > 0\).

7. Объединим полученные решения:

Решением неравенства является \(x \in (0, 2] \cup [32, +\infty)\).

8. Найдем натуральные числа, не являющиеся решениями:

Натуральные числа, не являющиеся решениями, находятся в интервале \((2, 32)\). Это числа от 3 до 31 включительно. Количество таких чисел равно \(31 - 3 + 1 = 29\).

Ответ:

Ответ: 29

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!