Решите неравенство \[\sqrt{5x-2x^2+3} \le 3-x.\]

Давай решим данное неравенство по шагам.

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \[5x - 2x^2 + 3 \ge 0\] Умножим на -1, чтобы изменить знак коэффициента при \(x^2\): \[2x^2 - 5x - 3 \le 0\] Решим квадратное уравнение \(2x^2 - 5x - 3 = 0\). Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49\) Корни: \[x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\] \[x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\] Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - 5x - 3 \le 0\) это \[x \in [-0.5, 3].\]

Правая часть неравенства должна быть неотрицательной: \[3 - x \ge 0\] \[x \le 3\]

Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе части неотрицательны): \[(\sqrt{5x - 2x^2 + 3})^2 \le (3 - x)^2\] \[5x - 2x^2 + 3 \le 9 - 6x + x^2\] Перенесем все в правую часть: \[0 \le 3x^2 - 11x + 6\] Решим квадратное уравнение \(3x^2 - 11x + 6 = 0\). Дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4(3)(6) = 121 - 72 = 49\) Корни: \[x_1 = \frac{11 - \sqrt{49}}{6} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{11 + \sqrt{49}}{6} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3\] Решение неравенства \(3x^2 - 11x + 6 \ge 0\) это \[x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [3, +\infty)\]

Мы имеем следующие условия:

1. \[x \in [-0.5, 3]\]
2. \[x \le 3\]
3. \[x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [3, +\infty)\]

Пересечение этих интервалов дает: \[x \in [-0.5, \frac{2}{3}] \cup \{3\}\]