Решите неравенство \(\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x - 3} \ge 0\).

Решение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель. Числитель: \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \) Знаменатель: \( x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \)
2. Шаг 2: Запишем неравенство в виде: \(\frac{(x + 1)^2}{(x - 3)(x + 1)} \ge 0\)
3. Шаг 3: Сократим дробь на (x + 1), но учтем, что x ≠ -1 (так как на ноль делить нельзя). \(\frac{x + 1}{x - 3} \ge 0\) при \( x
   e -1 \)
4. Шаг 4: Найдем нули числителя и знаменателя. Нули: Числитель: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) Знаменатель: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
5. Шаг 5: Определим знаки на интервалах. Рассмотрим интервалы: \( (-\infty, -1), (-1, 3), (3, +\infty) \)
   • На интервале \( (-\infty, -1) \) (например, x = -2): \(\frac{-2 + 1}{-2 - 3} = \frac{-1}{-5} > 0 \) (плюс)
   • На интервале \( (-1, 3) \) (например, x = 0): \(\frac{0 + 1}{0 - 3} = \frac{1}{-3} < 0 \) (минус)
   • На интервале \( (3, +\infty) \) (например, x = 4): \(\frac{4 + 1}{4 - 3} = \frac{5}{1} > 0 \) (плюс)
6. Шаг 6: Определим решение неравенства. Неравенство \(\frac{x + 1}{x - 3} \ge 0\) выполняется на интервалах, где выражение положительно, и в точке x = -1 (где выражение равно 0). Но так как изначально было сокращение на (x + 1), нужно учесть, что x не может быть равен -1 (так как это приведет к делению на ноль в исходном выражении).
7. Шаг 7: Исключим x = -1 из решения. Таким образом, решением неравенства является \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \)