Решите неравенство $$\sqrt{x-3}>x-5$$.

Решение неравенства $$\sqrt{x-3}>x-5$$

Давай решим это неравенство по шагам. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ (область допустимых значений):

Так как у нас есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[x-3 \ge 0\] \[x \ge 3\]

2. Рассмотрение двух случаев:

Нам нужно рассмотреть два случая, так как знак правой части неравенства важен при возведении в квадрат.

Случай 1: $$x-5 < 0$$

Если $$x-5 < 0$$, то $$x < 5$$. В этом случае неравенство выполняется, так как квадратный корень всегда неотрицателен, и он больше отрицательного числа. Таким образом, для этого случая у нас есть интервал:

\[3 \le x < 5\]

Случай 2: $$x-5 \ge 0$$

Если $$x-5 \ge 0$$, то $$x \ge 5$$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:

\[(\sqrt{x-3})^2 > (x-5)^2\] \[x-3 > x^2 - 10x + 25\] \[0 > x^2 - 11x + 28\] \[x^2 - 11x + 28 < 0\]

Решение квадратного неравенства:

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 11x + 28 = 0$$ для нахождения корней:

Дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$$

Корни: $$x_1 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11 - 3}{2} = 4$$ и $$x_2 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11 + 3}{2} = 7$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена вверх, и неравенство $$x^2 - 11x + 28 < 0$$ выполняется между корнями:

\[4 < x < 7\]

Но мы рассматриваем случай, когда $$x \ge 5$$, поэтому находим пересечение интервалов:

\[5 \le x < 7\]

3. Объединение решений:

Объединяем решения из обоих случаев:

\[3 \le x < 5\] \[5 \le x < 7\]

Получаем общее решение:

\[3 \le x < 7\]

Ответ: $$x \in [3; 7)$$

Ответ: $$x \in [3; 7)$$