Решите неравенство $$\sqrt{x^2-5}>3+\frac{1}{1-\sqrt{x^2-5}}$$.

Добрый день! Давай решим это неравенство вместе. Будем действовать аккуратно и последовательно, чтобы не допустить ошибок.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби не равнялся нулю.

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[x^2 - 5 \ge 0\]

\[x^2 \ge 5\]

\[x \le -\sqrt{5} \quad \text{или} \quad x \ge \sqrt{5}\]

2. Знаменатель не должен равняться нулю:

\[1 - \sqrt{x^2 - 5}
e 0\]

\[\sqrt{x^2 - 5}
e 1\]

\[x^2 - 5
e 1\]

\[x^2
e 6\]

\[x
e \pm\sqrt{6}\]

Таким образом, ОДЗ: $$x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$$.

Теперь решим неравенство:

\[\sqrt{x^2-5} > 3 + \frac{1}{1-\sqrt{x^2-5}}\]

Пусть \(t = \sqrt{x^2-5}\), где \(t \ge 0\). Тогда неравенство примет вид:

\[t > 3 + \frac{1}{1-t}\]

Перенесем все в одну сторону:

\[t - 3 - \frac{1}{1-t} > 0\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(t - 3)(1 - t) - 1}{1 - t} > 0\]

\[\frac{t - t^2 - 3 + 3t - 1}{1 - t} > 0\]

\[\frac{-t^2 + 4t - 4}{1 - t} > 0\]

\[\frac{-(t - 2)^2}{1 - t} > 0\]

Умножим на -1 (меняем знак неравенства):

\[\frac{(t - 2)^2}{1 - t} < 0\]

Так как \((t - 2)^2 \ge 0\), то неравенство выполняется, когда \((t - 2)^2 > 0\) и \(1 - t < 0\).

1. \((t - 2)^2 > 0\) выполняется при \(t
e 2\).

2. \(1 - t < 0\) выполняется при \(t > 1\).

Итак, \(t > 1\) и \(t
e 2\).

Возвращаемся к переменной x:

\[\sqrt{x^2 - 5} > 1\]

\[x^2 - 5 > 1\]

\[x^2 > 6\]

\[x < -\sqrt{6} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{6}\]

Также нужно исключить случай, когда \(t = 2\):

\[\sqrt{x^2 - 5} = 2\]

\[x^2 - 5 = 4\]

\[x^2 = 9\]

\[x = \pm 3\]

Так как \(x = \pm 3\) не входит в решение \(x < -\sqrt{6}\) или \(x > \sqrt{6}\), но входит в ОДЗ, то нужно исключить эти значения.

Окончательное решение:

\[x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3) \cup (3, +\infty)\]

Отлично! Ты хорошо справился с этим непростым заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!