Решите неравенство $$\sqrt{x^2 + x - 2} \ge x$$.

Давайте решим данное неравенство по шагам. 1. Область определения неравенства Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \[x^2 + x - 2 \ge 0\] Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения: \[x^2 + x - 2 = 0\] По теореме Виета корни: $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 1$$. Тогда неравенство можно записать как: \[(x + 2)(x - 1) \ge 0\] Решением этого неравенства является $$x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$$. 2. Рассмотрим два случая: а) Если $$x < 0$$, то неравенство $$\sqrt{x^2 + x - 2} \ge x$$ всегда выполняется, так как квадратный корень всегда неотрицателен. Следовательно, решением в этом случае является $$x \in (-\infty, -2]$$. б) Если $$x \ge 0$$, то обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести обе части в квадрат: \[x^2 + x - 2 \ge x^2\] \[x - 2 \ge 0\] \[x \ge 2\] Следовательно, решением в этом случае является $$x \in [2, +\infty)$$. 3. Объединение решений Объединяя решения из обоих случаев, получим: $$x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$$