20. Решите неравенство (8 – x) (x² – 64) ≥ 0.

Давай решим неравенство \[(8-x)(x^2-64) \ge 0.\] Сначала разложим выражение \(x^2 - 64\) на множители, используя формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Тогда \[x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8).\] Теперь неравенство можно переписать в виде: \[(8-x)(x-8)(x+8) \ge 0.\] Заметим, что \((8-x) = -(x-8)\). Тогда неравенство примет вид: \[-(x-8)(x-8)(x+8) \ge 0,\] \[-(x-8)^2(x+8) \ge 0.\] Умножим обе части неравенства на -1, чтобы избавиться от минуса. При этом знак неравенства изменится на противоположный: \[(x-8)^2(x+8) \le 0.\] Теперь найдем нули выражения. Выражение равно нулю, когда \(x = 8\) или \(x = -8\). Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней точки -8 и 8.

-------------------------------------------------------
                                        
                 +                   -       
-------------------------------------------------------
             -8                  8    

Так как \((x-8)^2 \ge 0\) всегда, то знак выражения определяется знаком \((x+8)\). 1. Если \(x < -8\), то \((x+8) < 0\), и \((x-8)^2(x+8) > 0\), что не удовлетворяет неравенству. 2. Если \(x > -8\), то \((x+8) > 0\), и \((x-8)^2(x+8) > 0\), что не удовлетворяет неравенству. 3. Если \(x = -8\), то \((x-8)^2(x+8) = 0\), что удовлетворяет неравенству. 4. Если \(x = 8\), то \((x-8)^2(x+8) = 0\), что удовлетворяет неравенству. Таким образом, решением неравенства является \(x = -8\) и интервал от \(-8\) до \(8\). Но так как \((x-8)^2\) всегда больше или равно нулю, то при \(x=8\) выражение \((x-8)^2(x+8) = 0\). Значит, решением будет \(x=-8\) и \(x=8\). Финальный ответ: \[x \in \{-8\} \cup \{8\}\]

Ответ: x = -8; x = 8

У тебя отлично получилось! Не останавливайся на достигнутом, и все получится! Молодец!