Решите неравенство (5 − x)(x² − 25) ≥ 0.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим квадратный трехчлен на множители, используя формулу разности квадратов: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\).
2. Шаг 2: Перепишем неравенство с учетом разложения: \((5 - x)(x - 5)(x + 5) \ge 0\).
3. Шаг 3: Заметим, что \((5 - x) = -(x - 5)\), поэтому можно переписать неравенство как: \(-(x - 5)(x - 5)(x + 5) \ge 0\), что равносильно \(-(x - 5)^2(x + 5) \ge 0\).
4. Шаг 4: Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: \((x - 5)^2(x + 5) \le 0\).
5. Шаг 5: Найдем нули выражения: \(x - 5 = 0\) или \(x + 5 = 0\). Отсюда \(x = 5\) или \(x = -5\).
6. Шаг 6: Определим знаки выражения на интервалах, образованных найденными нулями:
   • При \(x < -5\) выражение \((x - 5)^2\) всегда положительно, а \((x + 5)\) отрицательно, следовательно, произведение отрицательно.
   • При \(x > -5\), но \(x
     e 5\) выражение \((x - 5)^2\) всегда положительно, а \((x + 5)\) положительно, следовательно, произведение положительно.
   • При \(x = 5\) выражение равно 0.
7. Шаг 7: Так как нам нужно найти значения \(x\), при которых выражение меньше или равно 0, выбираем интервал, где выражение отрицательно или равно 0.

Ответ: \(x \in (-\infty; -5] \cup \{5\}\)