Решите неравенство $$3 \cdot 45^x - 3 \cdot 27^x - 28 \cdot 15^x + 28 \cdot 9^x + 9 \cdot 5^x - 3^{x+2} \leq 0$$.

Для решения данного неравенства, выполним следующие шаги: 1. Перепишем неравенство: $$3 \cdot (9^x \cdot 5^x) - 3 \cdot 27^x - 28 \cdot (3^x \cdot 5^x) + 28 \cdot 9^x + 9 \cdot 5^x - 9 \cdot 3^x \leq 0$$ 2. Сгруппируем слагаемые: $$(3 \cdot 9^x \cdot 5^x - 28 \cdot 3^x \cdot 5^x + 9 \cdot 5^x) - (3 \cdot 27^x - 28 \cdot 9^x + 9 \cdot 3^x) \leq 0$$ $$5^x(3 \cdot 9^x - 28 \cdot 3^x + 9) - 3^x(3 \cdot 9^x - 28 \cdot 3^x + 9) \leq 0$$ 3. Вынесем общий множитель: $$(5^x - 3^x)(3 \cdot 9^x - 28 \cdot 3^x + 9) \leq 0$$ 4. Рассмотрим второй множитель и сделаем замену $$t = 3^x$$: $$3t^2 - 28t + 9 \leq 0$$ 5. Решим квадратное неравенство: $$3t^2 - 28t + 9 = 0$$ $$D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$$ $$t_1 = \frac{28 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$$ $$t_2 = \frac{28 - \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Значит, $$3t^2 - 28t + 9 = 3(t - 9)(t - \frac{1}{3}) = (t - 9)(3t - 1)$$ $$(3^x - 9)(3 \cdot 3^x - 1) \leq 0$$ $$(3^x - 3^2)(3^{x+1} - 3^0) \leq 0$$ $$(3^x - 3^2)(3^{x+1} - 1) \leq 0$$ $$(3^x - 3^2)(3^{x+1} - 3^0) \leq 0$$ 6. Вернемся к исходному неравенству: $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)(3 \cdot 3^x - 1) \leq 0$$ $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)(3^{x+1} - 1) \leq 0$$ Разделим на положительное число 3: $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)(3^{x+1} - 1) \leq 0$$ Так как $$5^x - 3^x > 0$$ при $$x > 0$$ и $$5^x - 3^x < 0$$ при $$x < 0$$, учтем это при анализе знаков. $$(3^x - 9)(3^{x+1} - 1) \leq 0$$ (если $$x > 0$$) $$(3^x - 3^2)(3^{x+1} - 3^0) \leq 0$$ $$(x - 2)(x + 1) \leq 0$$ Рассмотрим два случая: - $$x > 0$$: $$(3^x - 9)(3^{x+1} - 1) \leq 0$$ => $$(x-2)(x+1) \lt 0 $$ => $$-1 \lt x \lt 2 $$. Учитывая $$x > 0$$, получаем $$0 < x \leq 2$$. - $$x < 0$$: $$(5^x - 3^x)(3^x - 9)(3^{x+1} - 1) \leq 0$$ => $$x in [-1;0]$$ 7. Решим неравенство методом интервалов: $$(x - 2)(x + 1) \leq 0$$ $$x \in [-1; 2]$$ Ответ: $$x \in [-1; 2]$$ Таким образом, решением неравенства является промежуток [-1; 2].