Решите неравенство (х-7)³ (x+2) / x²-2x-35 ≤0.

Решение неравенства:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приравняем числитель к нулю, чтобы найти нули функции:
   \[(x-7)^3(x+2) = 0\]
   Отсюда \(x = 7\) или \(x = -2\).
2. Шаг 2: Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки разрыва:
   \[x^2 - 2x - 35 = 0\]
   Разложим квадратный трехчлен на множители:
   \[(x-7)(x+5) = 0\]
   Отсюда \(x = 7\) или \(x = -5\).
3. Шаг 3: Отметим точки \(-5\), \(-2\) и \(7\) на числовой прямой. Точка \(7\) является нулём числителя и корнем знаменателя, то есть она не входит в ответ.
4. Шаг 4: Определим знаки на каждом интервале.

Рассмотрим интервалы:

• \(x < -5\): Подставим \(x = -6\). Тогда \(\frac{(-6-7)^3(-6+2)}{(-6)^2-2(-6)-35} = \frac{(-13)^3(-4)}{36+12-35} = \frac{(-)(-) (+) \)}{+}\) > 0
• \(-5 < x < -2\): Подставим \(x = -3\). Тогда \(\frac{(-3-7)^3(-3+2)}{(-3)^2-2(-3)-35} = \frac{(-10)^3(-1)}{9+6-35} = \frac{(-)(-) (+) \)}{-}\) < 0
• \(-2 < x < 7\): Подставим \(x = 0\). Тогда \(\frac{(0-7)^3(0+2)}{(0)^2-2(0)-35} = \frac{(-7)^3(2)}{-35} = \frac{(-)(+) (-) \)}{-}\) > 0
• \(x > 7\): Подставим \(x = 8\). Тогда \(\frac{(8-7)^3(8+2)}{(8)^2-2(8)-35} = \frac{(1)^3(10)}{64-16-35} = \frac{(+)(+) (+) \)}{+}\) > 0

Ответ: \(x \in (-5; -2] \cup \{7\}\)